Контактные напряжения: формула Герца и расчёт

Когда два тела с криволинейной поверхностью - зуб шестерни и зуб колеса, ролик подшипника и дорожка качения, колесо и рельс - прижимаются друг к другу, вся нагрузка передаётся через крошечную площадку контакта. Номинальное давление там в десятки раз выше, чем можно было бы ожидать по площади сечения детали, и именно эти локальные напряжения, а не общая прочность материала, чаще всего ограничивают ресурс зубчатых передач и подшипников. Теория Герца даёт инженерную формулу для оценки этого максимального напряжения через силу, геометрию контакта и упругие свойства материалов. Ниже разберём, откуда берётся формула, что такое приведённый радиус кривизны и приведённый модуль упругости, и как правильно её применять. Чтобы сразу увидеть, как радиусы кривизны и материалы влияют на результат, покрути калькулятор ниже - он показывает не только число, но и форму давления в самой площадке контакта.

Что такое контактные напряжения и в чём суть теории Герца

Контактными называют напряжения, которые возникают в малой зоне соприкосновения двух тел под нагрузкой - в отличие от изгибных или растягивающих напряжений, распределённых по всему сечению детали. Если тела соприкасаются в точке или вдоль линии (два цилиндра, шар и плоскость, зуб и зуб), площадка контакта под нагрузкой не остаётся нулевой: материал упруго деформируется, точка или линия превращаются в узкую площадку конечной ширины, и именно по этой площадке распределяется давление.

Генрих Герц в 1881 году показал, что для двух упругих тел с гладкими выпуклыми поверхностями давление в площадке контакта распределено не равномерно, а по эллиптическому (для линейного контакта - полуэллиптическому) закону: максимум в центре площадки, плавный спад к нулю на краях. Это распределение и задаёт главную характеристику задачи - максимальное контактное напряжение $\sigma_H$, которое возникает точно в центре площадки и обычно в разы превышает среднее давление, посчитанное просто делением силы на площадь.

Формула Герца для максимального контактного напряжения

Для линейного контакта двух цилиндров (или цилиндра с плоскостью - частный случай, когда второй радиус стремится к бесконечности) инженерная формула Герца записывается так:

$\sigma_H = 0{,}418 \sqrt{\dfrac{q \, E_{пр}}{\rho_{пр}}},$

где $q = F/l$ - погонная нагрузка на единицу длины линии контакта (Н/мм), $F$ - прижимающая сила (Н), $l$ - длина линии контакта (мм), $E_{пр}$ - приведённый модуль упругости пары материалов (МПа), а $\rho_{пр}$ - приведённый радиус кривизны в зоне контакта (мм). Коэффициент $0{,}418$ учитывает форму эллиптического распределения давления и типовое значение коэффициента Пуассона $\nu = 0{,}3$ для стали.

Рассчитать для своей задачи

Формула показывает главное: напряжение растёт не пропорционально силе, а пропорционально её корню. Значит, чтобы вдвое снизить $\sigma_H$, силу нужно уменьшить не в два, а в четыре раза - и наоборот, удвоение нагрузки поднимает контактное напряжение лишь примерно в 1,4 раза. Это отличает контактную прочность от обычного растяжения, где напряжение растёт линейно с нагрузкой.

Приведённый радиус кривизны: внешний контакт

Приведённый радиус кривизны $\rho_{пр}$ описывает, насколько «остро» сходятся поверхности в точке контакта - чем он меньше, тем уже и «злее» площадка и выше напряжение при той же нагрузке. Для внешнего контакта, когда оба тела выпуклые (два вала, два зуба шестерён), кривизны складываются:

$\frac{1}{\rho_{пр}} = \frac{1}{\rho_1} + \frac{1}{\rho_2}.$

Рассчитать для своей задачи

Частный случай - контакт цилиндра с плоскостью: у плоскости радиус кривизны бесконечен, $1/\rho_2 = 0$, и формула упрощается до $\rho_{пр} = \rho_1$. Это самый мягкий по напряжениям вариант контакта при прочих равных условиях, потому что вклад кривизны вносит только одно тело.

Приведённый модуль упругости

Второй параметр формулы - приведённый модуль упругости, который учитывает, что оба тела в контакте деформируются одновременно, и жёсткость пары определяется обоими материалами сразу:

$E_{пр} = \frac{2 E_1 E_2}{E_1 + E_2},$

где $E_1$ и $E_2$ - модули упругости материалов первого и второго тела. Если оба тела стальные ($E_1 = E_2 = 2{,}1 \times 10^5$ МПа), приведённый модуль просто равен модулю стали. А вот контакт стали с более податливой бронзой или чугуном снижает $E_{пр}$ и, соответственно, снижает $\sigma_H$ при прочих равных - мягкий материал «размазывает» контактное давление по большей площадке.

Внутренний контакт: ролик в обойме подшипника

Когда одно тело выпуклое, а второе - вогнутое (ролик подшипника качения внутри дорожки качения, зуб внутреннего зацепления), кривизны не складываются, а вычитаются, потому что вогнутая поверхность «обнимает» выпуклую и уменьшает суммарную кривизну контакта:

$\frac{1}{\rho_{пр}} = \frac{1}{\rho_1} - \frac{1}{\rho_2},$

где $\rho_1$ - радиус выпуклого тела (ролика), а $\rho_2$ - радиус вогнутой поверхности (дорожки качения), причём $\rho_2 > \rho_1$ обязательно - иначе выражение теряет физический смысл.

Рассчитать для своей задачи

Из-за вычитания приведённый радиус при внутреннем контакте всегда больше, чем при внешнем с теми же по модулю радиусами, поэтому при одинаковой нагрузке внутренний контакт даёт меньшее напряжение - это одна из причин, почему подшипники качения способны нести значительные радиальные нагрузки без перегрузки дорожки.

Пример расчёта

Разберём типовую задачу. Стальной ролик радиусом $\rho_1 = 40$ мм прижат к стальному цилиндру радиусом $\rho_2 = 80$ мм (внешний контакт) силой $F = 4000$ Н, длина линии контакта $l = 25$ мм. Оба тела стальные, $E_1 = E_2 = 2{,}1 \times 10^5$ МПа. Нужно найти максимальное контактное напряжение и сравнить его с допускаемым $[\sigma_H] = 600$ МПа для закрытой зубчатой передачи.

Сначала находим погонную нагрузку:

$q = \frac{F}{l} = \frac{4000}{25} = 160\ \text{Н/мм}.$

Приведённый модуль упругости для пары сталь-сталь равен модулю самой стали:

$E_{пр} = \frac{2 \cdot 2{,}1\times10^5 \cdot 2{,}1\times10^5}{2{,}1\times10^5 + 2{,}1\times10^5} = 2{,}1\times10^5\ \text{МПа}.$

Приведённый радиус кривизны для внешнего контакта:

$\frac{1}{\rho_{пр}} = \frac{1}{40} + \frac{1}{80} = 0{,}0375\ \text{мм}^{-1} \;\Rightarrow\; \rho_{пр} \approx 26{,}67\ \text{мм}.$

Теперь подставляем всё в главную формулу:

$\sigma_H = 0{,}418 \sqrt{\frac{160 \cdot 2{,}1\times10^5}{26{,}67}} \approx 469\ \text{МПа}.$

Поскольку $469$ МПа меньше допускаемых $600$ МПа, условие прочности $\sigma_H \le [\sigma_H]$ выполняется с запасом около 22%. Ширину площадки контакта при желании можно оценить из того же эллиптического распределения давления: $b = 2q/(\pi \sigma_H) \approx 0{,}217$ мм - то есть вся нагрузка передаётся через полоску шириной меньше половины миллиметра, что и объясняет, почему локальное напряжение получается таким высоким при умеренной силе.

Частые ошибки

• Путают номинальное давление ($F$, делённая на видимую площадь) с $\sigma_H$. Формула Герца даёт максимум в центре эллиптической площадки, а не среднее давление - разница может быть в разы.
• Забывают перевести силу на единицу длины. В формулу подставляется погонная нагрузка $q = F/l$, а не полная сила $F$ - если длину контакта не учесть, результат окажется завышенным на порядок.
• Путают знак у приведённого радиуса. Для внешнего контакта (два выпуклых тела) кривизны складываются, для внутреннего (выпуклое в вогнутом) - вычитаются. Перепутанный знак даёт неверный, а иногда и нефизичный (отрицательный) результат.
• Складывают модули упругости напрямую вместо приведённого. $E_{пр}$ - это не среднее и не сумма $E_1$ и $E_2$, а именно $2E_1E_2/(E_1+E_2)$; для разных материалов подстановка одного модуля вместо приведённого искажает ответ.
• Сравнивают $\sigma_H$ с допускаемым напряжением на растяжение. Допускаемое контактное напряжение $[\sigma_H]$ - отдельная характеристика материала (обычно в разы выше предела текучести при обычном растяжении), её нужно брать из таблиц контактной выносливости, а не из справочника по сопромату для растяжения.

FAQ

Почему в формуле Герца стоит именно корень, а не линейная зависимость от силы? Эллиптическое распределение давления таково, что и высота эллипса ($\sigma_H$), и его ширина ($2b$) растут с ростом силы, но не пропорционально ей: рост силы «размазывается» и на высоту, и на ширину площадки одновременно, поэтому итоговая зависимость $\sigma_H$ от $F$ получается корневой.

Можно ли применять формулу Герца для контакта шара со сферой (точечный контакт)? Приведённая формула - для линейного контакта (цилиндр-цилиндр, цилиндр-плоскость). Для точечного контакта (шар-шар, шар-плоскость, как в шариковых подшипниках) используется отдельная формула Герца с другим численным коэффициентом и площадкой в виде эллипса на плоскости, а не полосы.

Как влияет мягкий материал (бронза, чугун) на контактное напряжение по сравнению со сталью? Более мягкий материал имеет меньший модуль упругости, поэтому приведённый модуль $E_{пр}$ снижается, а вместе с ним снижается и $\sigma_H$ при той же нагрузке и геометрии - контакт «размазывает» давление по чуть большей площадке за счёт большей упругой податливости.

Коротко

Контактное напряжение по Герцу вычисляется как $\sigma_H = 0{,}418\sqrt{qE_{пр}/\rho_{пр}}$, где $q = F/l$ - погонная нагрузка, $E_{пр} = 2E_1E_2/(E_1+E_2)$ - приведённый модуль упругости, а $\rho_{пр}$ - приведённый радиус кривизны, который складывается из радиусов тел при внешнем контакте и вычитается при внутреннем. Напряжение сосредоточено в узкой площадке шириной порядка десятых долей миллиметра и растёт с нагрузкой не линейно, а по корню, поэтому именно контактная, а не общая прочность чаще всего определяет ресурс зубчатых передач и подшипников качения.