Геометрический, пьезометрический и скоростной напор

В гидравлике энергию потока жидкости в любом сечении трубопровода удобно измерять не в джоулях, а в метрах столба той же жидкости - такая величина называется напором. Полный напор раскладывается на три слагаемых: геометрический, пьезометрический и скоростной, а их сумма вдоль потока реальной (вязкой) жидкости не сохраняется в точности, а убывает на величину потерь. Ниже разберём физический смысл каждой составляющей, выведем уравнение Бернулли для реальной жидкости и решим типовую задачу на давление в трубе переменного сечения. Чтобы сразу увидеть, как три напора складываются в полный и как перепад высот и сужение трубы влияют на давление, покрутите калькулятор ниже.

Что такое напор и зачем его делят на три части

Напор - это энергия единицы веса жидкости, выраженная в метрах. Такое представление удобно тем, что все три вида энергии потока - потенциальную энергию положения, энергию давления и кинетическую энергию - можно складывать напрямую, без пересчёта в разные единицы. Полный (гидродинамический) напор в произвольном сечении записывается как

$H = z + \frac{p}{\rho g} + \alpha \frac{v^2}{2g},$

где $z$ - геометрический напор, $p/(\rho g)$ - пьезометрический напор, $\alpha v^2/(2g)$ - скоростной напор, $\rho$ - плотность жидкости, $g$ - ускорение свободного падения. Каждое слагаемое имеет размерность длины и физический смысл высоты, на которую жидкость могла бы подняться за счёт соответствующего вида энергии.

Геометрический напор

Геометрический напор $z$ - это высота центра тяжести рассматриваемого сечения над произвольно выбранной горизонтальной плоскостью сравнения (плоскостью отсчёта). Он отражает потенциальную энергию положения: чем выше сечение поднято над плоскостью сравнения, тем больше запас этой энергии. Плоскость сравнения выбирается произвольно и одинаково для всех сечений задачи - от неё берутся все значения $z$, а сама разность высот $z_1 - z_2$ от выбора плоскости не зависит. На практике за плоскость сравнения часто берут ось нижнего по потоку сечения или уровень свободной поверхности в резервуаре.

Пьезометрический напор

Пьезометрический напор $p/(\rho g)$ - это высота, на которую поднялась бы жидкость в открытой сверху трубке (пьезометре), присоединённой к данной точке потока, под действием избыточного давления $p$ в этой точке. Он отражает энергию давления: чем выше давление в сечении, тем выше поднимется жидкость в пьезометре. Если в потоке давление ниже атмосферного (вакуум), пьезометрический напор формально отрицателен - пьезометр в этом случае не покажет столб жидкости, а всасывает воздух через открытый конец, поэтому вакуум измеряют отдельным прибором (вакуумметром), а не обычным пьезометром.

Сумма геометрического и пьезометрического напора $z + p/(\rho g)$ задаёт высоту так называемой пьезометрической линии - воображаемой поверхности, до которой поднялась бы жидкость во всех пьезометрах, расставленных вдоль трубопровода. Для покоящейся жидкости (без течения) пьезометрическая линия горизонтальна и совпадает со свободной поверхностью; в движущемся потоке она наклонена и обычно понижается по течению.

Скоростной напор и коэффициент Кориолиса

Скоростной напор $\alpha v^2/(2g)$ отражает кинетическую энергию единицы веса жидкости, движущейся со средней скоростью $v$. Коэффициент $\alpha$ (коэффициент Кориолиса, или коэффициент кинетической энергии) вводится потому, что скорость в разных точках живого сечения потока неодинакова - у стенок трубы она меньше, у оси больше, - а в формулу напора подставляется именно средняя по сечению скорость $v$. Коэффициент $\alpha$ учитывает эту неравномерность профиля скоростей:

• для развитого турбулентного течения профиль скоростей близок к равномерному, и обычно принимают $\alpha \approx 1$;
• для ламинарного течения профиль скоростей параболический (закон Пуазейля), неравномерность выражена сильнее, и $\alpha = 2$.

Чем сильнее вытянут профиль скоростей к оси трубы, тем больше $\alpha$ отклоняется от единицы. В инженерных расчётах трубопроводов турбулентное течение встречается значительно чаще, поэтому по умолчанию берут $\alpha = 1$, а поправку $\alpha = 2$ применяют только для явно ламинарных режимов - вязких жидкостей на малых скоростях в узких каналах.

Уравнение Бернулли для реальной жидкости

Для идеальной (невязкой) жидкости сумма трёх напоров вдоль струйки тока постоянна: $H_1 = H_2$. Реальная жидкость при течении теряет часть энергии на трение о стенки и на местные сопротивления (повороты, сужения, арматуру), поэтому полный напор по течению убывает. Уравнение Бернулли для двух сечений реального потока записывается с явным учётом потерь напора $h_w$:

$$z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \alpha_1 \frac{v_1^2}{2g} = z_2 + \frac{p_2}{\rho g} + \alpha_2 \frac{v_2^2}{2g} + h_w.$$

Рассчитать для своей задачи

Величина $h_w$ всегда неотрицательна и растёт с увеличением скорости потока и длины трубопровода. Если течение переходит из широкого участка трубы в узкий, скорость по уравнению неразрывности $v_1 A_1 = v_2 A_2$ возрастает, а вместе с ней растёт и скоростной напор - при этом давление в узком сечении может как упасть, так и вырасти в зависимости от того, компенсирует ли перепад геометрических высот рост скоростного напора и потерь.

Пьезометрическая и напорная линии на диаграмме

Изобразив вдоль трубопровода высоту оси трубы (геометрический напор), пьезометрическую линию и линию полного напора, получают наглядную энергетическую диаграмму потока. Линия полного напора (её ещё называют напорной линией) всегда идёт с уклоном вниз по течению - её падение на участке между двумя сечениями в точности равно потерям напора $h_w$ на этом участке. Пьезометрическая линия лежит ниже линии полного напора ровно на величину скоростного напора в каждой точке и может как понижаться, так и повышаться - например, при расширении трубы скорость падает, скоростной напор уменьшается, а часть высвободившейся энергии переходит в давление, и пьезометрическая линия поднимается.

Рассчитать для своей задачи

Пример расчёта давления в трубе переменного сечения

Вода ($\rho = 1000$ кг/м3) течёт по трубе, сужающейся с диаметра $D_1 = 200$ мм до $D_2 = 100$ мм. В широком сечении геометрический напор $z_1 = 5$ м, избыточное давление $p_1 = 150$ кПа, скорость $v_1 = 1$ м/с; в узком сечении геометрический напор $z_2 = 2$ м. Течение турбулентное ($\alpha = 1$), потери напора между сечениями $h_w = 1{,}5$ м. Найдём давление $p_2$ в узком сечении.

Сначала находим скорость в узком сечении из уравнения неразрывности:

$v_2 = v_1 \left(\frac{D_1}{D_2}\right)^2 = 1 \cdot \left(\frac{200}{100}\right)^2 = 4 \ \text{м/с}.$

Скоростные напоры в обоих сечениях:

$\frac{v_1^2}{2g} = \frac{1^2}{19{,}62} \approx 0{,}05 \ \text{м}, \qquad \frac{v_2^2}{2g} = \frac{4^2}{19{,}62} \approx 0{,}82 \ \text{м}.$

Пьезометрический напор в широком сечении и полный напор там же:

$\frac{p_1}{\rho g} = \frac{150000}{1000 \cdot 9{,}81} \approx 15{,}29 \ \text{м}, \qquad H_1 = z_1 + \frac{p_1}{\rho g} + \frac{v_1^2}{2g} \approx 5 + 15{,}29 + 0{,}05 = 20{,}34 \ \text{м}.$

Полный напор во втором сечении меньше на величину потерь: $H_2 = H_1 - h_w \approx 18{,}84$ м. Отсюда пьезометрический напор и давление во втором сечении:

$\frac{p_2}{\rho g} = H_2 - z_2 - \frac{v_2^2}{2g} \approx 18{,}84 - 2 - 0{,}82 = 16{,}02 \ \text{м}, \qquad p_2 \approx 16{,}02 \cdot 9810 \approx 157{,}2 \ \text{кПа}.$

Результат неочевиден: несмотря на потери напора и четырёхкратный рост скорости, давление в узком сечении не упало, а выросло - с 150 до примерно 157 кПа. Перепад геометрических высот $z_1 - z_2 = 3$ м оказался больше, чем прирост скоростного напора и потери вместе взятые, и высвободившаяся энергия положения перешла в давление.

Частые ошибки

• Смешивание пьезометрического напора с абсолютным давлением. В формулу напора обычно подставляют избыточное (манометрическое) давление, а не абсолютное - иначе результат не будет соответствовать реальной высоте столба в пьезометре.
• Забытый коэффициент Кориолиса. При явно ламинарном течении подстановка $\alpha = 1$ вместо $\alpha = 2$ занижает скоростной напор вдвое - для узких каналов и вязких жидкостей это не мелочь.
• Потеря напора со знаком минус. В уравнении Бернулли для реальной жидкости $h_w$ всегда прибавляется в правой части, а не вычитается - это то, что делает полный напор невозрастающим по течению.
• Разные плоскости сравнения для z1 и z2. Геометрический напор в обоих сечениях нужно отсчитывать от одной и той же горизонтальной плоскости, иначе разность $z_1 - z_2$ не будет иметь физического смысла.
• Вывод о падении давления «по умолчанию». Из роста скорости не следует автоматически падение давления - итоговый знак изменения $p$ зависит от совместного вклада перепада высот, скоростного напора и потерь, как показывает пример выше.

FAQ

Почему напор измеряют в метрах, а не в паскалях или джоулях? Напор - это энергия единицы веса жидкости ($E/(mg)$), а не энергия единицы объёма или массы. При таком выборе размерность энергии сокращается до длины, и все три составляющих - геометрическую, пьезометрическую и скоростную - можно складывать напрямую в одних и тех же единицах.

Чем пьезометрическая линия отличается от линии полного напора? Линия полного напора учитывает все три составляющих и всегда идёт вниз по течению реальной жидкости. Пьезометрическая линия учитывает только геометрический и пьезометрический напор (без скоростного) и лежит ниже линии полного напора ровно на величину скоростного напора в каждой точке; она может как понижаться, так и повышаться в зависимости от изменения скорости.

Может ли скоростной напор быть больше пьезометрического? Да, при достаточно высокой скорости и невысоком давлении скоростной напор может превосходить пьезометрический - например, в трубе Вентури в самом узком сечении, где давление специально понижают за счёт роста скорости.

Коротко

Полный напор потока $H = z + p/(\rho g) + \alpha v^2/(2g)$ складывается из геометрического (высота положения), пьезометрического (энергия давления) и скоростного (кинетическая энергия с поправкой на неравномерность профиля скоростей, $\alpha$) напоров. Для реальной жидкости полный напор убывает по течению на величину потерь $h_w$, что и выражает уравнение Бернулли $z_1 + p_1/(\rho g) + \alpha_1 v_1^2/(2g) = z_2 + p_2/(\rho g) + \alpha_2 v_2^2/(2g) + h_w$. Итоговое давление в любом сечении трубы переменного диаметра зависит от совместного действия перепада высот, изменения скорости и потерь, а не от одного лишь сужения или расширения трубы.