Сила давления на криволинейную стенку: Px, Pz и P

Криволинейная стенка - это участок поверхности резервуара, канала, шлюза или плотины, очерченный не плоскостью, а кривой линией: цилиндрический сегмент, закруглённый носок плотины, свод трубы, лопасть сегментного затвора. Для плоской стенки сила давления жидкости находится одной формулой - произведением давления в центре тяжести на площадь. Для криволинейной поверхности так не получится: элементарная сила давления в каждой точке направлена по нормали к поверхности, а нормали в разных точках дуги смотрят в разные стороны, поэтому результирующую силу раскладывают на горизонтальную $P_x$ и вертикальную $P_z$ составляющие. Ниже разберём, как вычисляется каждая составляющая, что такое тело давления и как найти равнодействующую вместе с направлением её линии действия. Покрутите калькулятор ниже - он пересчитывает Px, Pz и равнодействующую мгновенно и рисует их на схеме сечения.

Почему для криволинейной стенки нужен особый метод

Сила давления на плоскую площадку считается просто: $P = \rho g h_c A$, где $h_c$ - глубина погружения центра тяжести площадки, $A$ - её площадь. Направление силы тоже очевидно - она всегда перпендикулярна плоской стенке, то есть у всех элементарных сил одно и то же направление, и их можно складывать как скаляры.

На криволинейной стенке это правило ломается. Элементарная сила $dP = p\,dA$ по-прежнему направлена по нормали к поверхности, но для дуги нормаль поворачивается от точки к точке: в одном месте она почти горизонтальна, в другом - почти вертикальна. Складывать такие силы напрямую нельзя - векторная сумма не сводится к произведению давления на площадь всей дуги. Выход - разложить каждую элементарную силу на две ортогональные проекции и просуммировать их отдельно. Суммирование в каждом направлении сводится к знакомым, куда более простым задачам.

Как раскладывают силу давления на составляющие

Рассчитать для своей задачи

Идея в том, что сумма горизонтальных проекций всех элементарных сил давления равна силе давления на вертикальную проекцию криволинейной стенки - обычную плоскую площадку, для которой годится базовая формула. А сумма вертикальных проекций равна весу столба жидкости над дугой, между ней и свободной поверхностью, - так называемому телу давления. Это ключевое наблюдение сводит расчёт силы на кривой поверхности к двум расчётам для плоских фигур с разным физическим смыслом: площадка даёт горизонтальную силу через давление, объём - вертикальную через вес.

Горизонтальная составляющая Px: проекция на вертикальную плоскость

Рассчитать для своей задачи

Чтобы найти $P_x$, криволинейную стенку мысленно проецируют на вертикальную плоскость. Для дуги радиусом $R$, у которой верхняя кромка лежит на глубине $H_0$, а нижняя - на глубине $H_0 + R$, проекция представляет собой прямоугольник высотой $R$ и длиной стенки $b$:

$A_x = R b.$

Глубина центра тяжести этого прямоугольника - просто середина его высоты:

$h_c = H_0 + \frac{R}{2}.$

Тогда горизонтальная составляющая находится по обычной формуле силы давления на плоскую стенку, применённой к проекции:

$P_x = \rho g h_c A_x = \rho g \left(H_0 + \frac{R}{2}\right) R b.$

Это и есть сила, с которой жидкость давит на криволинейную стенку в горизонтальном направлении, - она в точности равна силе давления на плоскую вертикальную стенку той же площади и глубины погружения. Проецирование убирает кривизну из задачи: неважно, какая форма у дуги, важна только высота её вертикальной проекции.

Вертикальная составляющая Pz: тело давления

Рассчитать для своей задачи

Вертикальная составляющая равна весу жидкости в объёме, ограниченном самой криволинейной стенкой, её проекцией на свободную поверхность и вертикальными плоскостями, проведёнными через крайние точки дуги. Этот объём называют телом давления. Для дуги радиусом $R$ с верхней кромкой на глубине $H_0$ тело давления складывается из двух частей: прямоугольного столба высотой $H_0$ над верхней кромкой и четверти цилиндра радиусом $R$ над самой дугой:

$W = b \left(H_0 R + \frac{\pi R^2}{4}\right).$

Вертикальная сила - это вес жидкости в этом объёме:

$P_z = \rho g W = \rho g b \left(H_0 R + \frac{\pi R^2}{4}\right).$

Важная тонкость: тело давления бывает действительным и фиктивным. Если жидкость на самом деле находится в этом объёме (как в разобранном случае - вода лежит прямо над дугой), тело давления действительное, и сила $P_z$ направлена вниз. Если же жидкость расположена по другую сторону стенки, а объём над дугой в реальности заполнен воздухом, тело давления фиктивное: по величине формула та же, но сила $P_z$ направлена вверх - жидкость как бы выталкивает стенку. Определять это нужно каждый раз заново, глядя, с какой стороны от дуги находится жидкость.

Равнодействующая сила P и почему она проходит через центр кривизны

Рассчитать для своей задачи

Зная обе составляющие, равнодействующую находят по теореме Пифагора:

$P = \sqrt{P_x^2 + P_z^2},$

а угол наклона к горизонтали - из отношения составляющих:

$\alpha = \arctan\frac{P_z}{P_x}.$

Отдельного внимания заслуживает линия действия равнодействующей. Для стенки, очерченной по окружности, есть красивое упрощение: элементарная сила давления в любой точке дуги направлена по нормали к окружности, а нормаль к окружности - это её радиус. Значит, линия действия каждой элементарной силы проходит через центр кривизны дуги, и момент такой силы относительно центра равен нулю. Это верно для каждой элементарной силы, поэтому и суммарный момент равнодействующей относительно центра кривизны равен нулю - а нулевой момент при ненулевой силе возможен только если линия её действия проходит прямо через эту точку. Поэтому равнодействующая давления на цилиндрическую стенку всегда проходит через центр кривизны - это прямое следствие геометрии окружности, и оно сильно упрощает построение расчётных схем в инженерных задачах.

Пример решения типовой задачи

Цилиндрическая стенка сопрягает вертикальный участок с горизонтальным дном по дуге радиусом $R = 2$ м. Верхняя кромка дуги лежит на глубине $H_0 = 1$ м от свободной поверхности воды, длина стенки $b = 3$ м. Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м3.

Сначала находим глубину центра тяжести вертикальной проекции и саму проекцию:

$h_c = 1 + \frac{2}{2} = 2\ \text{м}, \qquad A_x = 2 \cdot 3 = 6\ \text{м}^2.$

Горизонтальная составляющая:

$P_x = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 2 \cdot 6 = 117\,720\ \text{Н} \approx 117{,}7\ \text{кН}.$

Объём тела давления и вертикальная составляющая:

$W = 3 \left(1 \cdot 2 + \frac{\pi \cdot 4}{4}\right) = 3(2 + \pi) \approx 15{,}42\ \text{м}^3,$

$P_z = 1000 \cdot 9{,}81 \cdot 15{,}42 \approx 151\,320\ \text{Н} \approx 151{,}3\ \text{кН}.$

Равнодействующая:

$P = \sqrt{117{,}7^2 + 151{,}3^2} \approx 191{,}7\ \text{кН}.$

Угол наклона к горизонтали составляет примерно 52,1 градуса, а линия действия этой силы проходит через центр кривизны дуги - тот же результат выдаёт калькулятор выше при значениях по умолчанию.

Частые ошибки

• Попытка применить формулу плоской стенки напрямую к криволинейной площади. $P = \rho g h_c A$ работает только для плоской проекции, а не для площади самой дуги - площадь дуги в расчёте не используется вовсе.
• Перепутанное тело давления: действительное вместо фиктивного. Направление $P_z$ зависит от того, с какой стороны дуги находится жидкость. Не проверив это, легко получить силу с обратным знаком.
• Забытая четверть окружности в объёме тела давления. Часто считают только прямоугольный столб $H_0 R$ и упускают вклад самой дуги $\pi R^2/4$ - тогда $P_z$ занижается.
• Смешивание длины стенки $b$ и радиуса $R$. Обе величины входят в формулы по-разному: $b$ всегда множитель первой степени, $R$ входит и линейно, и в квадрате - перепутанные буквы дают ошибку в размерности.
• Игнорирование того, что равнодействующая проходит через центр кривизны. Эта информация о линии действия силы не менее важна, чем её величина, - без неё нельзя правильно построить расчётную схему опоры.

FAQ

Как найти силу давления жидкости на криволинейную стенку без интегрирования? Раскладывают силу на горизонтальную составляющую $P_x$ (через вертикальную проекцию стенки) и вертикальную $P_z$ (через вес тела давления), а затем находят равнодействующую как $P = \sqrt{P_x^2+P_z^2}$ - интегрировать элементарные силы по всей дуге не нужно.

Что такое тело давления в гидравлике? Это объём, ограниченный самой криволинейной поверхностью, её проекцией на свободную поверхность жидкости и вертикальными плоскостями через крайние точки поверхности. Вес жидкости в этом объёме численно равен вертикальной составляющей силы давления.

Почему равнодействующая силы давления на цилиндрическую стенку проходит через центр кривизны? Потому что элементарные силы давления на дугу окружности направлены по её радиусам, а радиус окружности всегда проходит через центр. Момент каждой элементарной силы относительно центра равен нулю, значит равен нулю и момент их равнодействующей - а это возможно только если линия действия проходит через центр.

Коротко

Сила давления жидкости на криволинейную стенку раскладывается на горизонтальную составляющую $P_x = \rho g h_c A_x$, найденную через вертикальную проекцию стенки, и вертикальную $P_z = \rho g W$, равную весу тела давления - объёма над дугой до свободной поверхности. Равнодействующая $P = \sqrt{P_x^2+P_z^2}$ направлена под углом $\alpha = \arctan(P_z/P_x)$ к горизонтали, и для стенки, очерченной по окружности, её линия действия всегда проходит через центр кривизны дуги. Этот метод сводит расчёт кривой поверхности к двум простым задачам - на плоскую площадку и на объём жидкости.