Контактная разность потенциалов p-n перехода: формула

Когда p- и n-области полупроводника соприкасаются, на границе сама собой возникает разность потенциалов, хотя ни один внешний источник напряжения к переходу не подключён. Это и есть контактная разность потенциалов p-n перехода: она удерживает основные носители заряда от свободной диффузии друг в друга и определяет, при каком прямом напряжении переход вообще откроется. Ниже разберём, откуда берётся этот потенциальный барьер, как вывести его формулу через концентрации примесей, как оценить ширину слоя, который он создаёт, и как эти величины связаны между собой. Чтобы сразу увидеть, как концентрации акцепторов и доноров превращаются в вольты и нанометры, покрутите калькулятор ниже, а дальше разберём каждую формулу по шагам.

Что такое контактная разность потенциалов p-n перехода

В отдельности p-область богата дырками, n-область богата свободными электронами. В момент контакта возникает резкий градиент концентраций, и основные носители начинают диффундировать через границу: электроны уходят из n-области в p-область, дырки идут в обратную сторону. Уходя, они оставляют за собой неподвижные заряженные ионы примеси: положительные ионы доноров в n-области и отрицательные ионы акцепторов в p-области. Эти ионы и образуют область пространственного заряда, или обеднённый слой, свободный от подвижных носителей.

Заряд ионов создаёт внутреннее электрическое поле, направленное от n- к p-области, то есть навстречу диффузионному потоку. Как только поле становится достаточно сильным, диффузионный ток уравновешивается встречным дрейфовым током, и дальнейший перенос основных носителей прекращается. Разность потенциалов, которая устанавливается между нейтральными областями в этом равновесии, и называется контактной разностью потенциалов, или встроенным (диффузионным) потенциалом перехода.

Формула контактной разности потенциалов

Контактная разность потенциалов выражается через равновесные концентрации основных носителей по обе стороны перехода. Удобнее всего записать её через концентрацию акцепторов $N_a$ в p-области, концентрацию доноров $N_d$ в n-области и собственную концентрацию носителей $n_i$, характерную для конкретного полупроводника:

$\varphi_к = \varphi_T \ln\frac{N_a N_d}{n_i^2},$

где $\varphi_T = kT/q$ - тепловой потенциал, $k$ - постоянная Больцмана, $q$ - заряд электрона, $T$ - абсолютная температура. При комнатной температуре ($T = 300$ К) тепловой потенциал составляет около $25{,}85$ мВ, а для кремния собственная концентрация $n_i \approx 1{,}5 \cdot 10^{10}$ см⁻³. Чем выше концентрации примесей и чем ниже $n_i$ у материала, тем больше потенциальный барьер: у германия с его большим $n_i$ барьер при тех же концентрациях заметно ниже, чем у кремния, а у арсенида галлия с малым $n_i$ - заметно выше.

Рассчитать для своей задачи

Формула показывает важный факт: контактная разность потенциалов зависит только от равновесных концентраций носителей и температуры, а не от площади перехода или формы образца. Это делает её удобной характеристикой материала и уровня легирования, а не конкретного изделия.

Ширина области пространственного заряда

Тот же потенциальный барьер поддерживается зарядом ионов примеси в обеднённом слое, поэтому его ширина связана с контактной разностью потенциалов. В приближении полного обеднения (модель Шокли) ширина области пространственного заряда $W$ находится из решения уравнения Пуассона и равна:

$W = \sqrt{\frac{2\varepsilon\varphi_к}{q}\left(\frac{1}{N_a}+\frac{1}{N_d}\right)},$

где $\varepsilon = \varepsilon_0 \varepsilon_r$ - абсолютная диэлектрическая проницаемость полупроводника ($\varepsilon_r = 11{,}7$ для кремния). Слой не делится между p- и n-областями поровну: из условия электронейтральности заряд ионов с обеих сторон должен быть одинаковым по модулю, поэтому

$N_a x_p = N_d x_n, \qquad x_p + x_n = W,$

откуда $x_p = W N_d/(N_a+N_d)$ и $x_n = W N_a/(N_a+N_d)$. Иными словами, обеднённый слой всегда простирается глубже в ту сторону, где концентрация примеси ниже: если донорная область легирована слабее акцепторной в десять раз, то и вглубь неё слой уходит примерно в десять раз дальше.

Рассчитать для своей задачи

Внутри обеднённого слоя потенциал меняется не линейно, а по квадратичному закону с обеих сторон от границы: в p-области он растёт от нуля, в n-области выходит на значение $\varphi_к$. Именно площадь под кривой напряжённости поля (или, что то же, кривизна этого профиля) и задаёт распределение заряда, согласованное с концентрациями примеси.

Почему обеднённый слой ассиметричен

Такая асимметрия перехода - не побочный эффект, а прямое следствие электронейтральности: суммарный отрицательный заряд ионов акцепторов в p-области обязан по модулю совпадать с суммарным положительным зарядом ионов доноров в n-области, иначе на переходе появился бы нескомпенсированный заряд. Поскольку заряд - это произведение концентрации примеси на толщину слоя, при меньшей концентрации толщина обязана вырасти, чтобы дать тот же заряд.

На практике p-n переходы почти всегда делают несимметричными намеренно: одну область легируют сильно (её называют базой или подложкой), а вторую - слабо (эмиттер или коллектор в биполярных транзисторах, легированная область в диодах Шоттки-подобных структур). Тогда почти весь обеднённый слой и почти всё падение напряжения при обратном смещении сосредоточены именно в слаболегированной области, а сильно легированная сторона остаётся практически нейтральной. Это упрощает расчёт таких переходов: их часто приближают односторонним переходом, полагая ширину слоя целиком в слаболегированной области.

Пример решения задачи

Рассмотрим кремниевый p-n переход при комнатной температуре $T = 300$ К с концентрацией акцепторов $N_a = 10^{17}$ см⁻³ и концентрацией доноров $N_d = 10^{16}$ см⁻³. Нужно найти контактную разность потенциалов и ширину области пространственного заряда.

Сначала находим тепловой потенциал:

$\varphi_T = \frac{kT}{q} = \frac{(1{,}380649\cdot 10^{-23})(300)}{1{,}602176634\cdot 10^{-19}} \approx 25{,}85 \text{ мВ}.$

Далее подставляем концентрации в основную формулу, используя $n_i \approx 1{,}5\cdot 10^{10}$ см⁻³ для кремния:

$\varphi_к = 0{,}02585 \cdot \ln\frac{10^{17}\cdot 10^{16}}{(1{,}5\cdot 10^{10})^2} \approx 0{,}02585 \cdot 29{,}12 \approx 0{,}753 \text{ В}.$

Теперь находим ширину обеднённого слоя, взяв $\varepsilon_r = 11{,}7$:

$W = \sqrt{\frac{2\varepsilon_0\varepsilon_r\varphi_к}{q}\left(\frac{1}{N_a}+\frac{1}{N_d}\right)} \approx 327 \text{ нм}.$

Наконец, делим слой между областями пропорционально обратным концентрациям: поскольку $N_a$ в десять раз больше $N_d$, слой уходит в n-область в десять раз дальше, чем в p-область: $x_p \approx 30$ нм, $x_n \approx 297$ нм. Сумма даёт исходные 327 нм, а произведения $N_a x_p$ и $N_d x_n$ совпадают, как и требует электронейтральность.

Частые ошибки

• Путают контактную разность потенциалов с приложенным напряжением. Это не напряжение источника, а внутренняя равновесная величина; внешним напряжением к переходу можно только уменьшить или увеличить эффективный барьер, но не создать его заново.
• Забывают, что формула работает с абсолютными концентрациями, а не с их логарифмом «на глаз». Отношение $N_a N_d / n_i^2$ обычно составляет $10^{12}$-$10^{13}$, и ошибка на порядок в концентрации примеси заметно сдвигает итоговый логарифм и, соответственно, $\varphi_к$.
• Считают обеднённый слой симметричным. Если концентрации акцепторов и доноров различаются, слой обязательно асимметричен: делить $W$ пополам можно только для полностью симметричного перехода $N_a = N_d$.
• Подставляют собственную концентрацию $n_i$ одного материала при расчёте перехода из другого. У кремния, германия и арсенида галлия $n_i$ отличается на много порядков, и формула контактной разности потенциалов даёт совершенно разные числа для одних и тех же $N_a$, $N_d$.
• Не переводят температуру в кельвины. Тепловой потенциал $\varphi_T = kT/q$ считается только с абсолютной температурой; подстановка температуры в градусах Цельсия даёт неверный результат.

FAQ

От чего зависит контактная разность потенциалов p-n перехода? Только от концентраций акцепторов и доноров по обе стороны перехода, собственной концентрации носителей конкретного полупроводника и температуры. Площадь перехода, его форма и внешние размеры образца на неё не влияют.

Почему обеднённый слой p-n перехода уходит глубже в слаболегированную область? Из-за условия электронейтральности: заряд ионов примеси должен быть одинаков по модулю с обеих сторон перехода. Заряд равен произведению концентрации на толщину слоя, поэтому при меньшей концентрации толщина обязана быть больше, чтобы дать такой же заряд.

Как контактная разность потенциалов связана с прямым напряжением открытия диода? Диод начинает заметно проводить, когда приложенное в прямом направлении напряжение приближается к контактной разности потенциалов и почти компенсирует встроенный потенциальный барьер, позволяя диффузионному току снова превысить дрейфовый.

Коротко

Контактная разность потенциалов p-n перехода возникает из-за диффузии основных носителей через границу и последующего уравновешивания диффузионного и дрейфового токов встроенным электрическим полем ионов примеси. Она вычисляется по формуле $\varphi_к = \varphi_T \ln(N_a N_d/n_i^2)$ и задаёт ширину обеднённого слоя $W$, который асимметрично делится между p- и n-областями обратно пропорционально их концентрациям примеси. Чем выше легирование и ниже собственная концентрация носителей материала, тем больше потенциальный барьер и тем уже область пространственного заряда.