Подвижность носителей заряда в полупроводнике: формула

Подвижность носителей заряда - это коэффициент, который связывает среднюю скорость направленного движения электронов или дырок в полупроводнике с приложенным электрическим полем. Именно от подвижности зависит, насколько хорошо материал проводит ток при заданной концентрации носителей, и именно её измеряют в первую очередь, характеризуя новый полупроводниковый образец. Ниже разберём формулу дрейфовой скорости, правило Маттиссена для сложения механизмов рассеяния, зависимость подвижности от температуры и концентрации примеси, а также её связь с проводимостью и эффектом Холла. Чтобы сразу увидеть, как эти факторы взаимодействуют, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает подвижность, дрейфовую скорость и проводимость сразу для трёх материалов.

Что такое подвижность носителей заряда

Без внешнего поля электроны в кристалле движутся хаотично, сталкиваясь с колебаниями решётки и примесными атомами; их средняя скорость направленного дрейфа равна нулю. Как только к образцу прикладывают электрическое поле $E$, между столкновениями носитель успевает разогнаться в одну сторону - возникает средняя дрейфовая скорость $v_d$, пропорциональная полю:

$v_d = \mu E.$

Коэффициент пропорциональности $\mu$ и называется подвижностью носителей заряда; его размерность - см²/(В·с) (в системе СИ - м²/(В·с), но в физике полупроводников привычнее сантиметровые единицы). Чем выше подвижность, тем большую скорость приобретает носитель в одном и том же поле, а значит, тем эффективнее материал проводит ток при той же концентрации носителей.

Связь подвижности со временем свободного пробега

Микроскопически подвижность определяется временем свободного пробега $\tau$ между двумя последовательными столкновениями и эффективной массой носителя $m^*$:

$\mu = \frac{q\tau}{m^*},$

где $q$ - заряд носителя. Формула показывает главное: подвижность высока, когда носитель редко сталкивается (большое $\tau$) и имеет небольшую эффективную массу. Оба параметра зависят от температуры и совершенства кристалла, поэтому подвижность - величина не постоянная, а сильно чувствительная к условиям.

Правило Маттиссена: два механизма рассеяния

В реальном полупроводнике носитель одновременно рассеивается на нескольких независимых механизмах: на тепловых колебаниях решётки (фононах) и на ионизированных примесных атомах. Если механизмы независимы, их вклады в сопротивление движению складываются, а не подвижности напрямую - это и есть правило Маттиссена:

$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{\mu_Л} + \frac{1}{\mu_П},$

где $\mu_Л$ - подвижность, которая была бы при рассеянии только на решётке, а $\mu_П$ - только на примесях. Складывать нужно именно обратные величины, потому что каждый механизм независимо укорачивает время свободного пробега, а обратное время пробега (частота столкновений) аддитивно. Итоговая подвижность всегда меньше меньшей из двух составляющих - доминирует тот механизм, у которого подвижность ниже.

Рассчитать для своей задачи

На видео выше показан именно этот механизм в динамике: электрон непрерывно меняет направление при столкновениях, но в среднем смещается вдоль поля. Когда преобладает рассеяние на решётке, рост температуры увеличивает частоту столкновений и снижает подвижность.

Зависимость подвижности от температуры

У двух механизмов рассеяния - противоположные температурные зависимости. Рассеяние на фононах решётки усиливается с нагревом (амплитуда колебаний атомов растёт), поэтому решёточная подвижность падает по степенному закону:

$\mu_Л(T) = \mu_{Л,300}\left(\frac{T}{300\ \text{К}}\right)^{-3/2}.$

Рассеяние на ионизированных примесях, наоборот, слабее при высокой температуре - быстрый носитель меньше отклоняется кулоновским полем примесного иона, пролетая мимо него быстрее. Поэтому примесная подвижность растёт с температурой:

$\mu_П(T, N_D) = \mu_{П,\text{ref}}\cdot\frac{N_{\text{ref}}}{N_D}\left(\frac{T}{300\ \text{К}}\right)^{3/2},$

где $N_D$ - концентрация ионизованной примеси, а $N_{\text{ref}}$ - концентрация, для которой задано справочное значение $\mu_{П,\text{ref}}$. Из-за противоположных зависимостей суммарная подвижность, посчитанная по правилу Маттиссена, имеет максимум при некоторой промежуточной температуре: при низкой температуре доминирует примесное рассеяние, при высокой - решёточное.

Рассчитать для своей задачи

На графике в логарифмических осях обе составляющие выглядят прямыми линиями с противоположным наклоном, а измеренная (суммарная) кривая ложится ниже обеих асимптот и проходит через максимум там, где они пересекаются, - это канонический график, который приводят в любом курсе физики твёрдого тела при обсуждении подвижности.

Зависимость от концентрации примеси

Концентрация примеси $N_D$ входит в формулу $\mu_П$ в знаменателе: чем больше в кристалле ионизованных примесных атомов, тем чаще носитель пролетает рядом с одним из них и тем сильнее его траектория искривляется. При слабом легировании ($N_D \sim 10^{15}$ см⁻³) примесное рассеяние пренебрежимо мало и подвижность определяется почти целиком решёткой; при сильном легировании ($N_D \sim 10^{18}$–$10^{19}$ см⁻³) примесное рассеяние становится основным ограничением, и подвижность падает в разы даже при комнатной температуре.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому в справочных таблицах подвижность всегда указывают вместе с уровнем легирования: одна и та же комната кремния при разной концентрации примеси может иметь подвижность электронов и 1350, и 300 см²/(В·с).

Связь с проводимостью и эффектом Холла

Подвижность напрямую входит в формулу удельной проводимости полупроводника. Если в проводимости участвуют оба типа носителей, электроны с концентрацией $n$ и подвижностью $\mu_n$, дырки с концентрацией $p$ и подвижностью $\mu_p$, то:

$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p).$

Для примесного полупроводника с преобладающим одним типом носителей (например, доноры полностью ионизованы, $n \approx N_D$) формула упрощается до $\sigma = qN_D\mu_n$ - именно эту связь использует калькулятор выше. Экспериментально подвижность чаще всего находят не напрямую, а через эффект Холла: измеряют постоянную Холла $R_x = 1/(qn)$ (для электронов - со знаком минус) и удельное сопротивление $\rho = 1/\sigma$, а затем вычисляют холловскую подвижность:

$\mu_H = |R_x|\,\sigma = \frac{|R_x|}{\rho}.$

Холловская подвижность отличается от дрейфовой на холловский фактор порядка единицы, но в учебных задачах их обычно отождествляют - это удобный и физически осмысленный способ измерить $\mu$, не разбирая образец на составляющие механизмы рассеяния.

Пример решения типовой задачи

Возьмём кремний при комнатной температуре $T = 300$ К с концентрацией доноров $N_D = 10^{17}$ см⁻³ в поле $E = 500$ В/см - это как раз значения по умолчанию в калькуляторе выше. Справочные составляющие подвижности для кремния при этой концентрации: решёточная $\mu_Л = 1500$ см²/(В·с), примесная $\mu_П = 1400$ см²/(В·с).

Складываем по правилу Маттиссена:

$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{1500} + \frac{1}{1400} \approx 0{,}00143, \qquad \mu \approx 724\ \text{см}^2/(\text{В}\cdot\text{с}).$

Дрейфовая скорость при заданном поле:

$v_d = \mu E = 724 \cdot 500 \approx 362\,000\ \text{см/с} \approx 3620\ \text{м/с}.$

Удельная проводимость (заряд электрона $q = 1{,}602\cdot10^{-19}$ Кл):

$\sigma = qN_D\mu = 1{,}602\cdot10^{-19}\cdot10^{17}\cdot 724 \approx 11{,}6\ (\text{Ом}\cdot\text{см})^{-1}.$

Это соответствует удельному сопротивлению $\rho = 1/\sigma \approx 0{,}086$ Ом·см - типичное значение для кремния с таким уровнем легирования. Обратите внимание: при этой концентрации примеси решёточная и примесная составляющие почти равны, поэтому оба механизма рассеяния вносят сопоставимый вклад - ни один из них нельзя отбросить в оценке.

Частые ошибки

• Сложение подвижностей вместо обратных величин. Правило Маттиссена складывает $1/\mu$, а не $\mu$ напрямую. Если сложить $\mu_Л + \mu_П$, итоговая подвижность окажется завышенной в разы.
• Путаница знака дрейфовой скорости у дырок и электронов. Электроны дрейфуют против поля, дырки - вдоль поля, но подвижность в обеих формулах $v_d = \mu E$ берётся положительной; знак учитывается отдельно при определении направления тока.
• Смешение единиц СИ и сантиметровых. Справочные подвижности почти всегда даны в см²/(В·с), а концентрация - в см⁻³. Подставлять их в формулу проводимости в метрах без пересчёта - источник ошибки на четыре порядка.
• Игнорирование зависимости от температуры при переносе справочных данных. Табличное значение $\mu$ обычно дано при 300 К; использовать его для расчёта при 200 К или 400 К без пересчёта по степенному закону - грубая ошибка.
• Забыть, что подвижность зависит и от концентрации примеси. Одна и та же температура даёт разную подвижность при разном легировании - нельзя брать справочное значение без указания $N_D$.

FAQ

Что такое подвижность носителей заряда простыми словами? Это коэффициент в формуле $v_d = \mu E$, который показывает, насколько быстро электрон или дырка набирают направленную скорость в электрическом поле. Высокая подвижность означает редкие столкновения и малую эффективную массу носителя.

Почему подвижность электронов и дырок в одном материале разная? У электронов и дырок разные эффективные массы и структура энергетических зон, поэтому время свободного пробега и подвижность у них отличаются. В кремнии подвижность электронов почти втрое выше подвижности дырок при той же температуре.

Как подвижность связана с диффузией носителей? Соотношением Эйнштейна $D = \mu k_BT/q$: коэффициент диффузии и подвижность описывают один и тот же механизм случайного блуждания носителя, только один - под действием градиента концентрации, другой - под действием поля.

Коротко

Подвижность носителей заряда $\mu$ связывает дрейфовую скорость с электрическим полем через $v_d = \mu E$ и напрямую входит в формулу проводимости $\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$. Она складывается из независимых механизмов рассеяния по правилу Маттиссена $1/\mu = 1/\mu_Л + 1/\mu_П$: решёточная составляющая убывает с температурой как $T^{-3/2}$, примесная растёт как $T^{3/2}$ и убывает с концентрацией примеси. Из-за противоположных зависимостей суммарная подвижность реального кристалла максимальна при некоторой промежуточной температуре, а измеряют её чаще всего через эффект Холла.