Метод контурных токов с источником тока: сверхконтур

Метод контурных токов обычно опирается на второй закон Кирхгофа: для каждого независимого контура пишут сумму падений напряжения на сопротивлениях и приравнивают её сумме ЭДС. Но этот приём ломается, как только в общей ветви двух контуров вместо резистора оказывается источник тока. Напряжение на источнике тока заранее неизвестно - оно зависит от остальной цепи, а не задаётся законом Ома, поэтому обычное уравнение для этой ветви написать нельзя. Выход - метод сверхконтура: контуры, связанные источником тока, объединяют в один расширенный контур и обходят его по внешней границе, минуя саму проблемную ветвь. Ниже разберём, как составить уравнение связи, как получить уравнение сверхконтура, как найти напряжение на источнике тока и где студенты чаще всего путаются в знаках. Чтобы сразу увидеть, как связаны ЭДС, сопротивления и ток источника, покрути калькулятор ниже: он строит систему сверхконтура сам и мгновенно пересчитывает контурные токи и напряжение, а дальше разберём каждый шаг формально.

Почему обычная схема метода не работает

Возьмём знакомую двухконтурную цепь: два узла, top (T) и bottom (B), соединены тремя параллельными ветвями. В левой ветви - ЭДС $E_1$ и резистор $R_1$, в правой - ЭДС $E_2$ и резистор $R_2$, а в средней, общей для обоих контуров, раньше стоял резистор $R_3$. Контурные токи $I_1$ и $I_2$ обходят свои контуры по часовой стрелке, и через среднюю ветвь оба тока проходят одновременно - в противоположных направлениях.

Пока в средней ветви резистор, всё просто: падение напряжения на нём равно $R_3(I_1 - I_2)$, и это выражение можно подставить прямо в уравнения обоих контуров. Но если вместо резистора в среднюю ветвь включён источник тока $I_s$, у него нет параметра "сопротивление" - напряжение на его зажимах устанавливается само, в зависимости от того, что происходит в остальной цепи. Написать для этой ветви обычное слагаемое $R \cdot I$ невозможно, потому что $R$ здесь просто не определено. Составить два отдельных уравнения Кирхгофа, как раньше, не получится - в системе появится лишняя неизвестная (напряжение на источнике), для которой не хватит уравнений.

Уравнение связи: источник тока сам задаёт ток ветви

Первый шаг метода сверхконтура - заметить, что источник тока, наоборот, сразу даёт готовое уравнение, просто другого типа. Раз через эту ветвь физически течёт ток ровно $I_s$, а мы знаем, что реальный ток общей ветви выражается через контурные токи как разность $I_2 - I_1$ (или $I_1 - I_2$ - в зависимости от того, куда направлена стрелка источника относительно обхода контуров), то сразу получаем алгебраическое уравнение связи:

$I_2 - I_1 = I_s.$

Рассчитать для своей задачи

Это уравнение не нужно "выводить" из закона Ома - оно следует прямо из определения источника тока: какое бы напряжение на нём ни установилось, ток через него равен заданному значению $I_s$ по построению источника. Именно поэтому у этой ветви не два неизвестных (ток и напряжение), а одно: ток известен сразу, а напряжение придётся находить отдельно, уже после решения основной системы.

Уравнение сверхконтура

Раз для общей ветви нельзя написать обычное уравнение по Кирхгофу, поступают иначе: объединяют оба контура, примыкающих к источнику тока, в один расширенный контур - сверхконтур - и обходят его по внешней границе, не заходя в саму ветвь с источником. Тогда неизвестное напряжение на источнике тока просто не попадает в уравнение - оно осталось внутри контура, а не на его границе.

Если исходное уравнение контура 1 - это $R_1 I_1 + V_s = E_1$ (где $V_s$ - напряжение на источнике тока в направлении обхода контура 1), а уравнение контура 2 - это $R_2 I_2 - V_s = E_2$ (та же ветвь при обходе контура 2 проходится в обратную сторону, поэтому $V_s$ меняет знак), то при почленном сложении двух уравнений $V_s$ взаимно уничтожается:

$R_1 I_1 + R_2 I_2 = E_1 + E_2.$

Это и есть уравнение сверхконтура - обычное уравнение Кирхгофа для внешнего контура, составленного из веток $E_1$-$R_1$ и $E_2$-$R_2$, но не проходящего через ветвь с источником тока.

Рассчитать для своей задачи

Решение системы

Вместе уравнение связи и уравнение сверхконтура образуют полноценную систему из двух уравнений на два неизвестных $I_1$, $I_2$:

$\begin{aligned} I_2 - I_1 &= I_s, \\ R_1 I_1 + R_2 I_2 &= E_1 + E_2. \end{aligned}$

Она уже не требует определителя - проще выразить $I_2 = I_1 + I_s$ из первого уравнения и подставить во второе:

$R_1 I_1 + R_2 (I_1 + I_s) = E_1 + E_2 \;\;\Rightarrow\;\; I_1 = \frac{E_1 + E_2 - R_2 I_s}{R_1 + R_2}.$

Отсюда сразу находим и второй контурный ток:

$I_2 = I_1 + I_s = \frac{E_1 + E_2 + R_1 I_s}{R_1 + R_2}.$

Заметь: сам ток общей ветви после решения ничего нового не сообщает - он и так был известен заранее и равен $I_s$. Систему решали не ради него, а ради $I_1$ и $I_2$, которые нужны для нахождения токов в остальных ветвях цепи.

Напряжение на источнике тока

Ток источника задан условием, а вот его напряжение - величина, которую нужно находить отдельно, уже после того как контурные токи известны. Возвращаемся к уравнению контура 1, которое мы использовали при выводе сверхконтура:

$V_s = E_1 - I_1 R_1.$

Тот же результат должен получиться и из уравнения контура 2, что удобно использовать как проверку:

$V_s = R_2 I_2 - E_2.$

Если два способа дают разные числа - где-то ошибка в контурных токах или в знаках уравнений. Напряжение на источнике тока необходимо, например, чтобы посчитать мощность, которую он отдаёт в цепь: $P_{I_s} = V_s \cdot I_s$.

Пример решения типовой задачи

Возьмём конкретные числа: $E_1 = 12$ В, $E_2 = 6$ В, $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 3$ Ом, источник тока в общей ветви $I_s = 1$ А (направлен от нижнего узла к верхнему, то есть по ходу обхода контура 2).

Уравнение связи: $I_2 - I_1 = 1$. Уравнение сверхконтура: $2 I_1 + 3 I_2 = 12 + 6 = 18$. Подставляем $I_2 = I_1 + 1$:

$2 I_1 + 3(I_1 + 1) = 18 \;\;\Rightarrow\;\; 5 I_1 = 15 \;\;\Rightarrow\;\; I_1 = 3\ \text{А}, \qquad I_2 = 4\ \text{А}.$

Напряжение на источнике тока: $V_s = E_1 - I_1 R_1 = 12 - 3 \cdot 2 = 6$ В. Проверка вторым способом: $V_s = R_2 I_2 - E_2 = 3 \cdot 4 - 6 = 6$ В - совпало.

Рассчитать для своей задачи

Проверка балансом мощностей

Готовое решение проверяют балансом: суммарная мощность, отданная всеми источниками (включая источник тока), должна равняться суммарной мощности, рассеянной на резисторах. Мощность ЭДС - произведение ЭДС на ток её ветви, мощность источника тока - $V_s \cdot I_s$, мощность резистора - $I^2 R$.

Для нашего примера: $E_1 I_1 = 12 \cdot 3 = 36$ Вт, $E_2 I_2 = 6 \cdot 4 = 24$ Вт, $V_s I_s = 6 \cdot 1 = 6$ Вт - в сумме источники отдают 66 Вт. Резисторы рассеивают $I_1^2 R_1 + I_2^2 R_2 = 9 \cdot 2 + 16 \cdot 3 = 18 + 48 = 66$ Вт. Баланс сошёлся с точностью до последней цифры - решение верно. Тот же расчёт делает калькулятор выше для любых значений слайдеров, включая отрицательные $I_s$, когда источник тока направлен в другую сторону.

Когда сверхконтур нужен, а когда можно проще

Метод сверхконтура применяют только тогда, когда источник тока стоит именно в общей ветви двух контуров - то есть одновременно принадлежит обоим. Если источник тока находится в ветви, которая относится только к одному контуру (не является общей с соседним), задача упрощается: контурный ток этого контура сразу равен $I_s$ (с учётом направления), и отдельное уравнение для этого контура вообще не нужно - остаётся решить систему меньшего размера для оставшихся контуров.

Если в схеме несколько источников тока в разных общих ветвях, для каждого пишут своё уравнение связи, а объединённый сверхконтур охватывает сразу все контуры, соединённые источниками тока в одну группу - внешний обход по-прежнему исключает все ветви с источниками тока.

Частые ошибки

• Попытка написать закон Ома для ветви с источником тока. У источника тока нет параметра "сопротивление" - падение напряжения на нём неизвестно заранее и находится только после решения основной системы.
• Неверный знак в уравнении связи. Знак разности контурных токов должен соответствовать направлению стрелки источника тока относительно направления обхода каждого контура - перед подстановкой чисел стоит явно нарисовать, куда смотрит стрелка.
• Забытое уравнение сверхконтура. Одного уравнения связи мало - неизвестных два ($I_1$ и $I_2$), значит, нужно ещё одно независимое уравнение, и это именно обход внешней границы, а не контура через саму ветвь с источником.
• Путаница, что именно является неизвестным. Ток источника тока - заданная величина, а не результат решения. Решать систему "относительно $I_s$" не нужно, он уже дан в условии.
• Пропуск проверки напряжения на источнике двумя способами. Если формулы из контура 1 и контура 2 дают разные значения $V_s$, значит, где-то перепутан знак в одном из исходных уравнений контуров.

FAQ

Почему для ветви с источником тока нельзя написать обычное уравнение Кирхгофа? Потому что напряжение на источнике тока заранее неизвестно - оно не связано с током через закон Ома, а устанавливается само в зависимости от остальной цепи. Обычное уравнение контура требует известного соотношения между током и напряжением ветви, а здесь его нет.

Что такое сверхконтур в методе контурных токов? Это объединённый контур, полученный слиянием двух соседних контуров, связанных общим источником тока. Его обходят по внешней границе, минуя саму ветвь с источником, поэтому неизвестное напряжение на источнике в уравнение сверхконтура не входит.

Как найти напряжение на источнике тока после решения системы? Через уравнение любого из исходных контуров, содержащих эту ветвь: например, $V_s = E_1 - I_1 R_1$. Для проверки стоит посчитать то же напряжение и через уравнение второго контура - оба способа должны дать одинаковый результат.

Коротко

Если источник тока стоит в ветви, общей для двух контуров, обычные уравнения Кирхгофа для этой ветви написать нельзя - её напряжение неизвестно. Вместо этого пишут уравнение связи $I_2 - I_1 = I_s$ (ток общей ветви задан источником) и уравнение сверхконтура - сумму уравнений исходных контуров, в которой неизвестное напряжение взаимно уничтожается: $R_1 I_1 + R_2 I_2 = E_1 + E_2$. Решив систему, находят контурные токи, а напряжение на источнике тока получают отдельно из уравнения любого из исходных контуров, проверяя результат вторым способом и балансом мощностей.