Расчёт цепи с источником тока и ЭДС: метод двух узлов

Когда в одной схеме одновременно стоят источник ЭДС и источник тока, студенты часто пытаются считать её теми же приёмами, что и цепь с одними лишь источниками напряжения, и застревают на том, что у идеального источника тока нет сопротивления, а значит, для его ветви нельзя написать обычное уравнение по закону Ома. На самом деле смешанная схема считается даже проще: метод двух узлов - частный случай метода узловых потенциалов - принимает ток источника тока как готовое слагаемое, а не как то, что нужно сначала выразить через напряжение. Ниже разберём, как составить формулу узлового напряжения для такой цепи, как найти токи всех ветвей, почему ток через источник тока никогда не меняется и как проверить ответ методом суперпозиции. Чтобы сразу увидеть, как ЭДС, сопротивления и ток источника связаны между собой, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает узловое напряжение и токи трёх ветвей мгновенно, а дальше разберём каждый шаг формулы.

Схема: чем ветвь источника тока отличается от ветви ЭДС

Возьмём типовую схему с двумя узлами - A (рабочий узел) и B (земля, потенциал принимаем равным нулю). Между ними включены три параллельные ветви:

1. Ветвь с источником ЭДС $E$ последовательно с резистором $R_1$.
2. Ветвь с одним резистором $R_2$ - чистая нагрузка, без собственного источника.
3. Ветвь с идеальным источником тока $J$ - без резистора вообще.

Первые две ветви ведут себя привычно: ток через них связан с разностью потенциалов законом Ома. А вот третья ветвь устроена иначе. У идеального источника тока нет параметра "сопротивление" - он в принципе не подчиняется закону Ома в обычной форме. Вместо этого он навязывает цепи готовое значение тока: через эту ветвь всегда течёт ровно $J$, какое бы напряжение на ней ни установилось. Это и есть ключевое отличие, из-за которого расчёт смешанной цепи требует немного другого взгляда на узловое уравнение.

Формула узлового напряжения (метод двух узлов)

Первый закон Кирхгофа требует, чтобы сумма токов, втекающих в узел A, равнялась сумме токов, вытекающих из него. Обозначим напряжение узла A относительно земли как $U_a$. Ток ветви ЭДС, направленный к узлу, равен $(E - U_a)/R_1$; ток резистора, направленный от узла, равен $U_a/R_2$; ток источника тока, направленный к узлу, - просто $J$. Записываем баланс:

$\frac{E - U_a}{R_1} + J = \frac{U_a}{R_2}.$

Рассчитать для своей задачи

Перенесём все слагаемые с $U_a$ в одну сторону и получим узловое уравнение:

$U_a \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{E}{R_1} + J.$

Отсюда узловое напряжение находится одной дробью:

$U_a = \frac{\dfrac{E}{R_1} + J}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2}}.$

Это та же теорема Миллмана, что используется в цепях с несколькими источниками ЭДС, только в числитель добавлено слагаемое $J$ - ток идеального источника входит в баланс узла напрямую, без деления на сопротивление. Именно поэтому в знаменателе стоит сумма проводимостей только тех двух ветвей, у которых есть резистор: ветвь источника тока не обладает конечным сопротивлением и в знаменатель не входит, но вносит вклад в числитель.

Токи ветвей и почему ток источника тока не меняется

Зная $U_a$, находим токи всех трёх ветвей по закону Ома:

$I_1 = \frac{E - U_a}{R_1}, \qquad I_2 = \frac{U_a}{R_2}, \qquad I_3 = J.$

Третье равенство выглядит почти тривиально, но в нём и есть суть отличия источника тока от источника ЭДС: значение $I_3$ не зависит ни от $E$, ни от $R_1$, ни от $R_2$ - оно жёстко задано условием задачи. Как бы ни менялись остальные параметры цепи, амперметр в ветви источника тока всегда покажет одно и то же число. Меняется лишь то, какое напряжение при этом устанавливается на самом источнике, - но это уже отдельный вопрос, не влияющий на ток.

Рассчитать для своей задачи

Первый закон Кирхгофа для узла A проверяется прямой подстановкой: $I_1 + I_3 = I_2$. Если равенство не сходится - ошибка либо в узловом напряжении, либо в знаке одного из токов.

Проверка методом суперпозиции

Есть и второй способ найти те же токи - принцип суперпозиции, который в цепях со смешанными источниками работает особенно наглядно. Суть в том, чтобы посчитать вклад каждого источника отдельно, "выключив" остальные, а затем сложить результаты.

"Выключить" источник ЭДС означает закоротить его - заменить перемычкой, оставив резистор $R_1$ на месте. "Выключить" источник тока означает разомкнуть его ветвь - убрать её вовсе, ведь бесконечное внутреннее сопротивление идеального источника тока при $J = 0$ превращает ветвь в разрыв.

Рассчитать для своей задачи

При выключенном источнике тока в цепи остаётся единственный контур - ЭДС и оба резистора последовательно, поэтому ток в нём общий для обеих ветвей:

$I_1' = I_2' = \frac{E}{R_1 + R_2}.$

При выключенной ЭДС ток $J$ разветвляется между $R_1$ и $R_2$ по правилу разброса тока - большая часть уходит в ветвь с меньшим сопротивлением:

$I_1'' = -\frac{R_2}{R_1 + R_2}\,J, \qquad I_2'' = \frac{R_1}{R_1 + R_2}\,J.$

Знак минус у $I_1''$ означает, что в этой частной задаче ток от источника тока течёт через ветвь ЭДС в направлении, противоположном тому, что было выбрано за положительное для $I_1$. Складывая вклады, получаем полные токи:

$I_1 = I_1' + I_1'', \qquad I_2 = I_2' + I_2''.$

Если эта сумма не совпала с результатом, полученным методом двух узлов, - значит, где-то перепутан знак при закорачивании или размыкании одной из ветвей. Совпадение двух независимых методов - самая надёжная проверка расчёта.

Пример решения типовой задачи

Возьмём числа из калькулятора выше: $E = 60$ В, $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 15$ Ом, ток источника $J = 1$ А. Сначала находим узловое напряжение:

$U_a = \frac{60/10 + 1}{1/10 + 1/15} = \frac{6 + 1}{0{,}1667} = 42\ \text{В}.$

Теперь токи ветвей по закону Ома:

$I_1 = \frac{60 - 42}{10} = 1{,}8\ \text{А}, \qquad I_2 = \frac{42}{15} = 2{,}8\ \text{А}, \qquad I_3 = J = 1\ \text{А}.$

Проверка по первому закону Кирхгофа: $I_1 + I_3 = 1{,}8 + 1 = 2{,}8$ А, что в точности совпадает с $I_2$. Проверим тем же примером суперпозицию: вклад ЭДС $I_1' = I_2' = 60/25 = 2{,}4$ А; вклад источника тока $I_1'' = -15/25 \cdot 1 = -0{,}6$ А, $I_2'' = 10/25 \cdot 1 = 0{,}4$ А. Складываем: $I_1 = 2{,}4 - 0{,}6 = 1{,}8$ А, $I_2 = 2{,}4 + 0{,}4 = 2{,}8$ А - оба способа дали одинаковый ответ.

Частые ошибки

• Попытка написать закон Ома для ветви источника тока. У идеального источника тока нет сопротивления - ток в его ветви задан условием, а не выводится из напряжения. В знаменатель узловой формулы эта ветвь не входит.
• Источник тока пропущен в числителе. Ток $J$ входит в числитель формулы узлового напряжения напрямую, без деления на сопротивление - в отличие от слагаемых с ЭДС, где стоит $E_i/R_i$.
• Неверный знак направления J. Если стрелка источника тока направлена от узла, а не к нему, слагаемое $J$ в числителе должно войти со знаком минус - направление стрелки нужно фиксировать до подстановки чисел.
• Игнорирование отрицательного результата тока ветви. Отрицательный $I_1$ не ошибка вычисления - это значит, что реальный ток течёт в направлении, противоположном выбранному при составлении уравнения.
• Смешивание методов при суперпозиции. При "выключении" источника тока его ветвь нужно разомкнуть (убрать), а не закоротить, - это частая путаница с правилом для источника ЭДС, где действие обратное.

FAQ

Почему источник тока не входит в знаменатель формулы узлового напряжения? Потому что у идеального источника тока сопротивление не определено - он не имеет проводимости в обычном смысле. В знаменатель узловой формулы входят только проводимости резистивных ветвей $1/R_1$ и $1/R_2$, а ток источника тока добавляется отдельным слагаемым в числитель.

Меняется ли ток через источник тока при изменении сопротивлений цепи? Нет. Ток идеального источника тока равен заданному значению $J$ независимо от остальных параметров схемы - в этом его определяющее свойство. Меняется лишь напряжение на его зажимах, но не ток.

Как проверить решение цепи с ЭДС и источником тока без пересчёта заново? Двумя способами: первым законом Кирхгофа ($I_1 + I_3 = I_2$ для узла A) и методом суперпозиции - раздельно посчитать вклад ЭДС и вклад источника тока и убедиться, что их сумма совпадает с прямым решением методом двух узлов.

Коротко

В цепи с источником ЭДС и источником тока метод двух узлов работает по той же логике, что и обычный метод узловых потенциалов, но ток идеального источника добавляется в числитель формулы напрямую, без деления на сопротивление: $U_a = (E/R_1 + J)/(1/R_1 + 1/R_2)$. Токи ветвей находятся законом Ома, а ток самой ветви источника тока всегда равен $J$ и не зависит от остальной схемы. Решение проверяется первым законом Кирхгофа и методом суперпозиции - раздельным расчётом вклада каждого источника с последующим сложением.