Несимметричная трёхфазная нагрузка: расчёт и формулы

Несимметричная трёхфазная нагрузка возникает всякий раз, когда однофазные потребители, лампы, розетки, бытовые приборы, распределены по трём фазам сети неравномерно. В отличие от симметричного случая, где все три фазы нагружены одинаково и напряжения на них совпадают, здесь напряжения и токи фаз перестают быть равными, а расчёт требует отдельного метода: метода узлового напряжения, известного также как метод двух узлов. Ниже разберём, как найти смещение нейтрали, фазные напряжения и токи для звезды без нулевого провода и с ним, а также почему обрыв нулевого провода в четырёхпроводной сети так опасен для подключённых приборов. Чтобы сразу увидеть, как несимметрия сдвигает нейтраль, покрутите калькулятор ниже: он строит векторную диаграмму и столбики фазных напряжений в реальном времени, а дальше мы разберём каждую формулу.

Что такое несимметричная нагрузка

При симметричной нагрузке звезды сопротивления всех трёх фаз равны, и по симметрии нейтральная точка нагрузки совпадает с нейтральной точкой источника: напряжение на каждой фазе нагрузки в точности равно фазному напряжению источника. Как только сопротивления фаз становятся разными, скажем, в одной фазе включено больше ламп, а в другой меньше, это условие нарушается. Точка N', в которой сходятся три фазы нагрузки, перестаёт совпадать с точкой N источника: возникает смещение нейтрали. Именно оно и делает задачу нетривиальной: нельзя просто взять фазное напряжение источника и разделить его на сопротивление фазы, нужно сначала найти, куда сместилась нейтраль нагрузки.

Такая ситуация типична для бытовых сетей 380/220 В, где потребители одной фазы (например, квартиры одного стояка) включаются и выключаются независимо, и для промышленных линий с несимметричными однофазными потребителями (сварочные посты, осветительные щиты). Разберём расчёт по шагам.

Метод узлового напряжения: как найти смещение нейтрали

Рассмотрим нагрузку, соединённую звездой: в каждой фазе резистор с сопротивлением $R_a$, $R_b$, $R_c$, а между нейтралями источника и нагрузки может стоять нулевой провод с некоторым сопротивлением $R_N$ (либо его вовсе нет). Источник симметричный, действующее фазное напряжение $U_ф = 220$ В, фазы сдвинуты на 120°:

$\dot U_a = 220\angle 0^\circ, \qquad \dot U_b = 220\angle{-120}^\circ, \qquad \dot U_c = 220\angle 120^\circ.$

Введём проводимости фаз $G_a = 1/R_a$, $G_b = 1/R_b$, $G_c = 1/R_c$ и проводимость нулевого провода $G_N = 1/R_N$ (если провода нет, $G_N = 0$; если он глухозаземлённый и практически без сопротивления, $G_N$ стремится к бесконечности). Тогда напряжение смещения нейтрали, то есть напряжение между точкой N' нагрузки и точкой N источника, находится по формуле метода узлового напряжения:

$\dot U_{N'N} = \frac{G_a \dot U_a + G_b \dot U_b + G_c \dot U_c}{G_a + G_b + G_c + G_N}.$

Рассчитать для своей задачи

Как только $\dot U_{N'N}$ найдено, фактические напряжения на фазах нагрузки получаются простым вычитанием:

$\dot U_a' = \dot U_a - \dot U_{N'N}, \qquad \dot U_b' = \dot U_b - \dot U_{N'N}, \qquad \dot U_c' = \dot U_c - \dot U_{N'N}.$

А фазные токи, поскольку нагрузка чисто активная, находятся уже по обычному закону Ома для каждой фазы отдельно:

$\dot I_a = G_a \dot U_a', \qquad \dot I_b = G_b \dot U_b', \qquad \dot I_c = G_c \dot U_c'.$

Обратите внимание: ток нейтрального провода $I_N = G_N \dot U_{N'N}$ и сумма фазных токов $\dot I_a + \dot I_b + \dot I_c$ уравновешивают друг друга в узле N', это прямое следствие первого закона Кирхгофа и заодно способ проверить расчёт.

Пример расчёта: звезда без нулевого провода

Возьмём типичную формулировку задачи: несимметричная нагрузка соединена звездой без нулевого провода, сопротивления фаз $R_a = 20$ Ом, $R_b = 40$ Ом, $R_c = 80$ Ом, фазное напряжение источника 220 В. Найдём смещение нейтрали и фазные напряжения на нагрузке.

Проводимости фаз: $G_a = 1/20 = 0{,}05$ См, $G_b = 1/40 = 0{,}025$ См, $G_c = 1/80 = 0{,}0125$ См. Поскольку нулевого провода нет, $G_N = 0$, и знаменатель формулы равен просто сумме проводимостей фаз: $0{,}0875$ См. Подставив комплексные напряжения источника и выполнив сложение по действительной и мнимой частям, получаем:

$\dot U_{N'N} \approx 78{,}6 - j\,27{,}2\ \text{В}, \qquad |\dot U_{N'N}| \approx 83{,}2\ \text{В}.$

Смещение немалое: почти 40% от фазного напряжения источника. Вычитая его из напряжений источника, находим фактические напряжения на нагрузке:

$|\dot U_a'| \approx 144\ \text{В}, \qquad |\dot U_b'| \approx 249\ \text{В}, \qquad |\dot U_c'| \approx 288\ \text{В}.$

Фаза A, самая тяжело нагруженная (наименьшее сопротивление, наибольшая проводимость), проседает почти на треть от номинала: приборы там будут работать на пониженном напряжении. А фаза C, наименее нагруженная, наоборот получает перенапряжение почти на 30% выше номинала, это уже риск для ламп накаливания и бытовой техники, рассчитанной на 220 В. Токи фаз при этом равны $I_a \approx 7{,}2$ А, $I_b \approx 6{,}2$ А, $I_c \approx 3{,}6$ А.

Рассчитать для своей задачи

Роль нулевого провода: почему обрыв опасен

Если в ту же схему добавить нулевой провод, картина меняется. Чем меньше его сопротивление, тем меньше проводимость $G_N$ отклоняет смещение нейтрали от нуля. В пределе глухозаземлённой нейтрали, когда сопротивление провода практически равно нулю, $G_N$ становится настолько большим, что $\dot U_{N'N} \to 0$ независимо от того, насколько сильно различаются $R_a$, $R_b$, $R_c$. Это ключевой практический вывод: исправный нулевой провод держит все три фазных напряжения нагрузки строго равными фазному напряжению источника, 220 В, при любой асимметрии сопротивлений. Различаться будут только токи фаз, но не напряжения, а значит, ни один прибор не окажется под опасным перенапряжением.

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому обрыв нулевого провода в четырёхпроводной сети 380/220 В считается аварийным режимом. Пока провод исправен, он держит нейтраль, и жильцы разных квартир одного стояка могут включать разное число приборов, не создавая друг другу проблем. Как только провод обрывается (или его сопротивление сильно возрастает из-за плохого контакта, коррозии, неисправного клеммника), сеть превращается в трёхпроводную звезду без нейтрали, и появляется то самое смещение $\dot U_{N'N}$, которое мы считали в примере выше: у одних потребителей напряжение падает, у других резко растёт, вплоть до выхода техники из строя.

Частые ошибки

• Подстановка модулей вместо комплексных чисел. Формула метода узлового напряжения работает с комплексными (векторными) напряжениями, у которых учтён фазовый сдвиг 120°. Если сложить модули 220 В трёх фаз без учёта фазы, получится неверный результат, обычно кратно завышенный.
• Забытая проводимость нулевого провода. Если по условию нулевой провод есть, но с ненулевым сопротивлением, в знаменателе формулы обязательно нужно прибавить $G_N = 1/R_N$, иначе расчёт свернётся к случаю обрыва.
• Путаница, какое напряжение фактическое. После нахождения $\dot U_{N'N}$ токи считаются через $\dot U_a'$, $\dot U_b'$, $\dot U_c'$ (напряжения на нагрузке), а не через исходные $\dot U_a$, $\dot U_b$, $\dot U_c$ источника.
• Игнорирование проверки по первому закону Кирхгофа. Сумма фазных токов минус ток нейтрали должна давать ноль (с учётом фаз); если проверка не сходится, ошибка в комплексной арифметике.
• Смешение активной и полной нагрузки. Формулы выше даны для активных (резистивных) фаз; если нагрузка реактивная, вместо $R$ и $G$ нужно брать комплексные сопротивления и проводимости $Z$, $Y$ с учётом реактивной части.

FAQ

Как найти смещение нейтрали при несимметричной нагрузке? По формуле метода узлового напряжения: $\dot U_{N'N} = (G_a \dot U_a + G_b \dot U_b + G_c \dot U_c) / (G_a + G_b + G_c + G_N)$, где $G_N$ равно нулю, если нулевого провода нет, и достаточно велико, если нейтраль глухозаземлённая.

Что произойдёт, если нулевой провод оборвётся при несимметричной нагрузке? Проводимость $G_N$ обнулится, смещение нейтрали перестанет гаситься, и фазные напряжения на нагрузке разойдутся: у сильно нагруженной фазы напряжение упадёт, у слабо нагруженной вырастет выше номинала, что опасно для бытовой техники.

Зависит ли смещение нейтрали от нагрузки, если провод глухозаземлён? Практически нет. При достаточно малом сопротивлении нулевого провода его проводимость доминирует в знаменателе формулы, и смещение нейтрали остаётся близким к нулю независимо от того, насколько различаются сопротивления фаз.

Коротко

Несимметричная трёхфазная нагрузка рассчитывается методом узлового напряжения: сначала находится смещение нейтрали $\dot U_{N'N}$ через проводимости фаз и проводимость нулевого провода, затем из него вычитанием получаются фактические фазные напряжения на нагрузке, а из них по закону Ома, фазные токи. Исправный нулевой провод (особенно глухозаземлённый) держит смещение нейтрали близким к нулю при любой асимметрии сопротивлений, а его обрыв делает смещение существенным и может привести к опасному перенапряжению на слабо нагруженной фазе.