Нормальный закон погрешности измерений: правило 3σ

При любом измерении - длины детали, массы образца, напряжения в цепи - результат никогда не совпадает с истинным значением в точности. Если систематическая ошибка устранена (прибор откалиброван, поправки внесены), остаётся только случайная погрешность - она меняется от измерения к измерению непредсказуемым образом. Экспериментально и теоретически (через центральную предельную теорему) доказано, что при большом числе независимых мелких воздействий такая погрешность подчиняется нормальному закону распределения - той самой колоколообразной кривой Гаусса. Ниже разберём формулу плотности этого распределения, смысл среднеквадратичной погрешности и правило трёх сигм, а рассчитать вероятность попадания в конкретный интервал для своих чисел можно в калькуляторе ниже.

Плотность нормального распределения случайной погрешности

Если систематическая погрешность равна нулю, случайная погрешность отдельного измерения $\Delta$ распределена по нормальному закону с плотностью

$f(\Delta) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \exp\left(-\frac{\Delta^2}{2\sigma^2}\right),$

где $\sigma$ - среднеквадратичная (стандартная) погрешность измерения. Кривая симметрична относительно нуля - положительные и отрицательные отклонения равновероятны, - имеет максимум в точке $\Delta = 0$ и убывает тем быстрее, чем меньше $\sigma$. Именно $\sigma$, а не какой-либо другой параметр, полностью определяет ширину и высоту колокола: чем точнее прибор или методика, тем меньше $\sigma$ и тем острее пик плотности вокруг нуля.

Рассчитать для своей задачи

Площадь под всей кривой всегда равна единице - это условие нормировки плотности вероятности: измерение обязательно даст какой-то результат. А площадь под кривой между двумя значениями $\Delta$ равна вероятности того, что случайная погрешность попадёт именно в этот интервал.

Форма кривой напрямую связана с качеством измерительного прибора и методики: узкий и высокий колокол означает, что подавляющее большинство измерений ложится близко к истинному значению - прибор прецизионен. Широкий и низкий колокол при той же истинной величине говорит о большом разбросе - результаты одного и того же измерения сильно отличаются друг от друга. Это разные понятия, чем систематическая ошибка (смещение центра колокола относительно истинного значения) - величина $\sigma$ отвечает только за ширину, а не за положение максимума.

Правило трёх сигм

Самое практичное следствие нормального закона - правило трёх сигм. Вероятность того, что случайная погрешность отдельного измерения по модулю не превысит $k\sigma$, выражается через функцию ошибок:

$P(|\Delta| < k\sigma) = \operatorname{erf}\!\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right).$

Эта вероятность не зависит от конкретного значения $\sigma$ - только от множителя $k$. Отсюда и берутся канонические числа, которые стоит запомнить:

$P(|\Delta| < \sigma) \approx 0{,}6827, \qquad P(|\Delta| < 2\sigma) \approx 0{,}9545, \qquad P(|\Delta| < 3\sigma) \approx 0{,}9973.$

Рассчитать для своей задачи

Иначе говоря, почти все измерения (99,73%) укладываются в интервал шириной шесть сигм вокруг истинного значения. Погрешность, превышающая по модулю $3\sigma$, - событие крайне редкое (вероятность меньше 0,3%): на практике такой результат обычно считают промахом (грубой ошибкой) и отбрасывают, а не списывают на обычный разброс.

Среднеквадратичная погрешность и как её оценить

На практике истинное значение $\sigma$ неизвестно - его оценивают по выборке из $n$ измерений $x_1, \ldots, x_n$ через несмещённую выборочную дисперсию:

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2},$

где $\bar{x}$ - среднее арифметическое выборки. Величина $s$ и служит практической оценкой $\sigma$ в формуле плотности и в правиле трёх сигм. Чем больше измерений сделано, тем точнее оценка $s$ приближается к истинному $\sigma$ - это отдельный вопрос доверительных интервалов для среднего, а не для отдельного измерения.

Срединная (вероятная) ошибка

Кроме среднеквадратичной погрешности, в метрологии используют срединную (вероятную) ошибку $r$ - такое значение, что ровно половина измерений укладывается в интервал $\pm r$:

$P(|\Delta| < r) = 0{,}5 \quad\Longrightarrow\quad r = 0{,}6745\,\sigma.$

Срединная ошибка меньше среднеквадратичной ровно в $1/0{,}6745 \approx 1{,}483$ раза - это фиксированное соотношение для любого нормального закона, независимо от масштаба измерений. Иногда результаты измерений в старой литературе приводят именно через $r$, а не через $\sigma$ - при пересчёте достаточно разделить или умножить на этот коэффициент.

Как считать вероятность попадания в произвольный интервал

Правило трёх сигм даёт готовые числа только для $k = 1, 2, 3$. Для любого другого интервала $\pm a$ вероятность считается по той же формуле с $k = a/\sigma$:

$P(|\Delta| < a) = \operatorname{erf}\!\left(\frac{a}{\sigma\sqrt{2}}\right).$

Разберём пример. Среднеквадратичная погрешность измерения длины детали $\sigma = 0{,}2$ мм. Нужно найти вероятность того, что погрешность конкретного измерения не превысит по модулю $0{,}6$ мм.

Сначала находим множитель: $k = a/\sigma = 0{,}6 / 0{,}2 = 3$. Это ровно интервал $\pm 3\sigma$, поэтому сразу используем табличное значение правила трёх сигм:

$P(|\Delta| < 0{,}6\ \text{мм}) = P(|\Delta| < 3\sigma) \approx 0{,}9973.$

Если бы, например, требовался интервал $\pm 0{,}3$ мм, множитель составил бы $k = 0{,}3/0{,}2 = 1{,}5$, и вероятность нужно было бы считать через функцию ошибок: $P = \operatorname{erf}(1{,}5/\sqrt{2}) \approx 0{,}8664$. Именно так работает калькулятор выше - он подставляет любое дробное $k$ и сразу выдаёт как вероятность, так и ожидаемое число измерений в интервале из общего числа.

Ожидаемое число измерений в заданном интервале

Зная вероятность $P$, легко оценить, сколько измерений из общего числа $n$ ожидается внутри интервала $\pm k\sigma$: это просто $n \cdot P$. Например, при 200 измерениях массы образца со среднеквадратичной погрешностью 5 мг и интервале $\pm 10$ мг ($k = 2$) ожидается около $200 \cdot 0{,}9545 \approx 191$ измерения внутри интервала и около 9 - за его пределами. Это удобный практический ориентир: если реальное число выбросов заметно больше девяти, стоит заподозрить, что распределение погрешности на самом деле не нормальное (например, из-за неучтённой систематики или нескольких грубых промахов).

Частые ошибки

• Путать среднеквадратичную и срединную ошибку. $\sigma$ и $r = 0{,}6745\sigma$ - разные величины с разным смыслом; подстановка одной вместо другой в правило трёх сигм даёт неверную вероятность.
• Забыть, что систематическая погрешность должна быть исключена заранее. Формула плотности с центром в нуле описывает только случайную составляющую; если есть неустранённый систематический сдвиг, распределение центрировано не в нуле, а в точке этого сдвига.
• Применять правило трёх сигм к среднему, а не к отдельному измерению. Разброс среднего арифметического $n$ измерений в $\sqrt{n}$ раз меньше разброса отдельного измерения - это разные доверительные интервалы, их нельзя путать.
• Путать доверительную вероятность и множитель k. Округление до 68%, 95%, 99,7% - это следствие конкретных $k = 1, 2, 3$, а не универсальные проценты для «любого разумного интервала».
• Использовать смещённую дисперсию при малой выборке. При оценке $\sigma$ по выборке в знаменателе должно стоять $n - 1$, а не $n$ - иначе оценка систематически занижена.

FAQ

Почему случайная погрешность измерений подчиняется именно нормальному закону? Согласно центральной предельной теореме, суммарный эффект множества независимых мелких случайных факторов (дрожание руки, колебания температуры, шум прибора) стремится к нормальному распределению независимо от того, как распределён вклад каждого отдельного фактора.

Что означает интервал ±3σ на практике? Это диапазон, в который попадает 99,73% всех измерений при нормальном распределении погрешности. Результат, вышедший за эти границы, считается статистически маловероятным - обычно его трактуют как грубую ошибку (промах) и исключают из обработки.

Как найти среднеквадратичную погрешность, если истинное значение неизвестно? Оценивают её по выборке измерений через несмещённую выборочную дисперсию с $n-1$ в знаменателе: $s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum (x_i - \bar{x})^2}$. Эта оценка $s$ подставляется в формулу плотности вместо истинного $\sigma$.

Что делать, если измерение вышло за границы ±3σ? Такой результат считается статистическим выбросом - вероятность его случайного появления меньше 0,3%. На практике его либо перепроверяют отдельным измерением, либо, если ошибка подтверждается (сбой прибора, опечатка при записи), исключают из выборки как промах и пересчитывают среднее и $\sigma$ уже без него.

Коротко

Случайная погрешность измерения при устранённой систематике подчиняется нормальному закону с плотностью $f(\Delta) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\exp(-\Delta^2/2\sigma^2)$, где $\sigma$ - среднеквадратичная погрешность. Вероятность попадания в интервал $\pm k\sigma$ равна $\operatorname{erf}(k/\sqrt{2})$ и не зависит от масштаба измерений - отсюда числа правила трёх сигм: 68,27%, 95,45% и 99,73% для $k = 1, 2, 3$. Срединная ошибка $r = 0{,}6745\sigma$ задаёт интервал, в который попадает ровно половина измерений. Эти формулы позволяют быстро оценить, сколько измерений из серии укладывается в заданный допуск и что считать грубым промахом.