Нормирование погрешности средств измерений: класс точности

Нормирование погрешности средств измерений - это установленный стандартом способ задать предел допускаемой погрешности прибора одним числом, не расписывая её отдельно для каждой точки шкалы. Именно на этом нормировании держится понятие «класс точности», знакомое по шкале любого амперметра или манометра: цифра 1.0 или 2.5 в кружке на циферблате - это и есть нормированная погрешность в процентах. Разберём, как эта цифра связана с абсолютной и относительной погрешностью, почему относительная погрешность растёт при измерении малых значений на большой шкале и как правильно выбирать диапазон прибора под задачу. Чтобы сразу увидеть эту зависимость, покрутите калькулятор ниже: он показывает, как при фиксированном классе точности относительная погрешность меняется вдоль шкалы.

Нормирующее значение шкалы

У любого средства измерений - вольтметра, амперметра, манометра, весов - есть нормирующее значение $X_N$: как правило, это верхний предел диапазона измерений (конечное значение шкалы). Именно относительно него нормируется, то есть задаётся единым числом, предел допускаемой погрешности прибора.

Рассчитать для своей задачи

Смысл нормирования в том, что абсолютная погрешность прибора $\Delta$ считается практически постоянной по всей шкале - она определяется конструкцией прибора (трением в опорах, люфтом механизма, разрешением АЦП), а не тем, какое конкретно значение сейчас показывает стрелка. Именно поэтому её нормируют не в единицах шкалы, а в процентах от $X_N$ - так получается сравнимая между приборами разного диапазона характеристика.

Выбор самого нормирующего значения зависит от типа шкалы прибора, и это отдельное правило, которое часто путают:

• Шкала с нулевой отметкой на краю (обычный вольтметр от 0 до 100 В) - нормирующее значение равно верхнему пределу: $X_N = X_{\max}$.
• Шкала без нулевой отметки в начале диапазона (например, термометр сопротивления от 50 до 150 °C) - нормирующим считают разность пределов: $X_N = X_{\max} - X_{\min}$, потому что именно эта ширина диапазона определяет масштаб конструктивных погрешностей механизма.
• Двусторонняя шкала с нулём внутри диапазона (гальванометр от -50 до +50 мкА) - нормирующее значение равно сумме модулей пределов: $X_N = |X_{\max}| + |X_{\min}|$.

Ошибка в выборе $X_N$ на этом шаге сразу искажает и класс точности, и все дальнейшие расчёты относительной погрешности, поэтому в паспорте прибора тип шкалы и способ нормирования всегда указываются явно.

Приведённая погрешность и класс точности

Приведённая (нормированная) погрешность - это отношение абсолютной погрешности к нормирующему значению, выраженное в процентах:

$$\gamma = \frac{\Delta}{X_N} \cdot 100\%.$$

Класс точности прибора - это как раз число $\gamma$, округлённое до одного из значений стандартного ряда по ГОСТ 8.401-80: $(1{,}0;\ 1{,}5;\ 2{,}0;\ 2{,}5;\ 4{,}0;\ 5{,}0;\ 6{,}0) \times 10^n$. На практике для щитовых и лабораторных приборов чаще всего встречаются классы 0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.5 и 4.0. Класс точности печатается на шкале прибора числом без единиц измерения (иногда в кружке) - это и есть гарантированный производителем предел приведённой погрешности.

Из формулы сразу следует, что абсолютная погрешность прибора - величина постоянная и не зависящая от текущих показаний:

$$\Delta = \frac{\gamma \cdot X_N}{100}.$$

Относительная погрешность вдоль шкалы

Относительная погрешность - это то, что реально интересует человека, снимающего показания: насколько велика ошибка именно в текущем измерении $X$:

$$\delta(X) = \frac{\Delta}{X} \cdot 100\% = \frac{\gamma \cdot X_N}{X}.$$

Рассчитать для своей задачи

Ключевое наблюдение: $\delta(X)$ равна классу точности $\gamma$ только в единственной точке - при $X = X_N$, то есть при показании на пределе шкалы. При всех меньших значениях $X$ относительная погрешность больше $\gamma$, причём растёт по гиперболе: уменьшение показания вдвое от предела шкалы удваивает относительную погрешность, а измерение в начале шкалы (условно на 5-10% предела) может дать относительную погрешность в 10-20 раз больше класса точности. Отсюда практическое правило метрологии: показания стоит снимать в верхней половине или верхней трети шкалы прибора, а сам прибор - подбирать под ожидаемый диапазон значений, а не брать «с запасом».

Двучленная формула для приборов с широким диапазоном

Для многих современных приборов - цифровых мультиметров, измерителей RLC - производитель указывает класс не одним числом, а двумя, через дробь, например 0.02/0.01. Это отражает то, что у таких приборов заметны обе составляющие погрешности - аддитивная (не зависящая от показания, как в приведённой погрешности выше) и мультипликативная (пропорциональная самому измеряемому значению, например из-за нелинейности усилителя). Формула предела допускаемой относительной погрешности тогда выглядит так:

$$\delta = \pm \left[ c + d \left( \left| \frac{X_к}{X} \right| - 1 \right) \right],$$

где $c$ и $d$ - числа класса точности (первое и второе через дробь), $X_к$ - конечное значение выбранного диапазона измерений, $X$ - показание. При $X = X_к$ формула даёт $\delta = c$ - минимальную возможную погрешность на этом диапазоне, а при уменьшении $X$ второе слагаемое растёт, как и в одночленном случае с приведённой погрешностью.

Пример решения типовой задачи

Вольтметр класса точности 1.0 имеет предел измерений $X_N = 100$ В. Найдём абсолютную погрешность прибора и относительную погрешность измерения при показании $X = 30$ В.

Сначала абсолютная погрешность - она одна и та же по всей шкале:

$$\Delta = \frac{1{,}0 \cdot 100}{100} = 1\ \text{В}.$$

Теперь относительная погрешность именно этого измерения:

$$\delta(30) = \frac{1}{30} \cdot 100\% \approx 3{,}33\%.$$

Для сравнения: если бы стрелка стояла на пределе шкалы, $X = 100$ В, относительная погрешность совпала бы с классом точности: $\delta(100) = 1/100 \cdot 100\% = 1{,}0\%$. Разница почти в 3.3 раза наглядно показывает, зачем метролог всегда уточняет не только класс прибора, но и на каком участке шкалы снималось показание.

Разберём и второй случай - двучленное нормирование. Цифровой мультиметр на диапазоне 200 мВ имеет класс точности $0{,}02/0{,}01$ (то есть $c = 0{,}02\%$, $d = 0{,}01\%$), конечное значение диапазона $X_к = 200$ мВ. Требуется найти предел относительной погрешности при показании $X = 50$ мВ.

Подставляем числа в двучленную формулу:

$$\delta = \pm \left[ 0{,}02 + 0{,}01 \left( \frac{200}{50} - 1 \right) \right] = \pm \left[ 0{,}02 + 0{,}01 \cdot 3 \right] = \pm 0{,}05\%.$$

Видно, что даже при относительно небольшом уходе показания от конца диапазона (в четыре раза) погрешность выросла всего в 2.5 раза - за счёт мультипликативной составляющей $d$ рост медленнее, чем в чисто аддитивном одночленном случае. Именно поэтому двучленное нормирование лучше описывает поведение цифровых приборов на широких поддиапазонах.

Частые ошибки

• Путать класс точности с относительной погрешностью измерения. Число на шкале - это приведённая погрешность $\gamma$, а не $\delta(X)$; они совпадают только на пределе шкалы.
• Считать абсолютную погрешность зависящей от показания. В одночленном нормировании $\Delta$ постоянна по всей шкале - это и есть суть нормирования.
• Измерять малые значения на приборе с большим пределом. Формально показание в допуске, но относительная погрешность может оказаться неприемлемо большой - нужно выбирать прибор или диапазон под ожидаемую величину.
• Забывать про двучленную формулу для цифровых приборов. Для мультиметров и подобных приборов класс часто задан как $c/d$, а не одним числом - использовать одночленную формулу для них некорректно.
• Путать нормирующее значение с текущим показанием. $X_N$ - это конечное значение шкалы (или диапазона), а не то число, которое показывает прибор в момент измерения.

FAQ

Что такое класс точности прибора простыми словами? Это число, гарантирующее, что приведённая погрешность прибора (отношение абсолютной погрешности к пределу шкалы) не превышает указанного значения в процентах.

Почему относительная погрешность растёт при малых показаниях? Потому что абсолютная погрешность прибора постоянна, а в формуле относительной погрешности она делится на само измеряемое значение - при уменьшении делителя дробь растёт.

Как выбрать диапазон прибора, чтобы минимизировать погрешность? Нужно подбирать предел измерений так, чтобы ожидаемое значение попадало в верхнюю треть или половину шкалы - тогда относительная погрешность будет ближе к минимальной, равной классу точности.

Коротко

Нормирование погрешности задаёт единый предел допускаемой погрешности прибора через приведённую погрешность $\gamma = \Delta/X_N \cdot 100\%$, откуда абсолютная погрешность $\Delta$ постоянна по шкале. Относительная погрешность конкретного измерения $\delta(X) = \gamma X_N / X$ равна классу точности только на пределе шкалы, а при уменьшении показания растёт по гиперболе - поэтому для точных измерений выбирают прибор так, чтобы показание попадало в верхнюю часть его шкалы.