Угол между двумя пересекающимися прямыми: формула и способы

Угол между двумя пересекающимися прямыми - одна из первых задач начертательной геометрии и инженерной графики, на которой студенты спотыкаются: на чертеже видны не сами прямые, а их проекции, а проекция угла почти никогда не равна самому углу. Ниже разберём, как определить угол через направляющие векторы прямых, почему транспортир на эпюре обманывает, и какими методами инженерная графика получает угол в натуральную величину. Чтобы сразу увидеть разницу между истинным углом и его проекциями, покрутите калькулятор ниже - он строит сразу три схемы: пространственную и обе проекции.

Что такое угол между прямыми в начертательной геометрии

Две прямые называются пересекающимися, если у них есть общая точка и обе лежат в одной плоскости. Угол между ними - это угол, который образуют их направления в этой самой плоскости; он всегда лежит в диапазоне от $0°$ до $90°$, если считать острым (тупой и острый угол при пересечении дополняют друг друга до $180°$, обычно интересует меньший).

На эпюре - чертеже с горизонтальной и фронтальной проекциями - прямые заданы не абстрактно, а двумя своими проекциями: горизонтальной (вид сверху, на плоскости $H$) и фронтальной (вид спереди, на плоскости $V$). Кажется естественным измерить угол прямо между проекциями транспортиром. Это грубая ошибка: проекция искажает углы, если плоскость, в которой лежат прямые, не параллельна плоскости проекций. Чтобы получить именно истинную величину угла, нужен либо расчёт через координаты точек (направляющие векторы), либо одно из графических построений - метод вращения или метод замены плоскостей проекций.

Формула угла через направляющие векторы

Если прямые заданы координатами точек - а на практике это самый надёжный путь, - угол находится через направляющие векторы. Пусть прямые пересекаются в точке $A$, а точки $B$ и $C$ лежат на первой и второй прямой соответственно. Тогда направляющие векторы:

$\vec{a} = \overrightarrow{AB}, \qquad \vec{b} = \overrightarrow{AC}.$

Угол между прямыми находится через скалярное произведение:

$\cos\varphi = \frac{|\vec{a}\cdot\vec{b}|}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}.$

Модуль в числителе нужен, чтобы всегда получать острый угол между прямыми (без него формула дала бы угол между направленными векторами, который может быть тупым - а для прямой направление вектора не имеет значения, важна лишь её ориентация в пространстве). Скалярное произведение раскладывается через координаты:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z, \qquad |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}.$

Этот способ не зависит от того, как прямые расположены относительно плоскостей проекций, - он даёт истинный угол сразу, если известны координаты (или направляющие векторы) в пространстве. Именно эту формулу считает калькулятор выше при любых значениях ползунков.

Почему угол на эпюре искажён

Проекция прямой на плоскость $H$ (вид сверху) получается отбрасыванием координаты $z$, на плоскость $V$ (вид спереди) - отбрасыванием координаты $y$. Формула для кажущегося угла на каждой проекции точно такая же, только с усечёнными векторами:

$\cos\varphi_h = \frac{|a_x b_x + a_y b_y|}{\sqrt{a_x^2+a_y^2}\,\sqrt{b_x^2+b_y^2}}, \qquad \cos\varphi_v = \frac{|a_x b_x + a_z b_z|}{\sqrt{a_x^2+a_z^2}\,\sqrt{b_x^2+b_z^2}}.$

В общем случае $\varphi_h \ne \varphi$ и $\varphi_v \ne \varphi$: проекция «сплющивает» пространственную картину вдоль одной из осей, и угол между сплющенными направлениями почти всегда меньше истинного (либо просто другой). Совпадение возможно только в частном случае - когда плоскость, натянутая на обе прямые, параллельна плоскости проекций (тогда проекция не искажает эту плоскость вообще).

Рассчитать для своей задачи

На дефолтных значениях калькулятора - векторы $(1,1,0)$ и $(1,0,1)$ - истинный угол равен $60°$, а обе проекции дают одинаковые, но заниженные $45°$. Это удобный учебный пример: он показывает, что даже когда обе проекции согласуются между собой, они всё равно могут расходиться с истинным углом.

Метод вращения: как получить угол в натуральную величину

Если координаты точек неизвестны и есть только чертёж (эпюр), расчёт по векторам не годится - нужно графическое построение. Классический приём - метод вращения: обе прямые вращают вокруг оси, лежащей в их общей плоскости и проходящей через точку пересечения, до тех пор пока эта плоскость не станет параллельна одной из плоскостей проекций. Как только плоскость параллельна, скажем, плоскости $H$, её проекция на $H$ перестаёт искажаться - угол между прямыми проецируется без искажений, и его можно измерить прямо на чертеже.

Рассчитать для своей задачи

Метод вращения удобен тем, что не требует переноса и вычерчивания новых плоскостей проекций - вся работа идёт в существующих видах. Его недостаток - построение дуг поворота занимает место на чертеже и требует аккуратности циркуля, поэтому при большом числе измерений инженеры предпочитают следующий метод.

Метод замены плоскостей проекций

Второй классический приём - не крутить сами прямые, а ввести дополнительную (новую) плоскость проекций, расположенную так, чтобы плоскость угла оказалась ей параллельна. Строится новая ось проекций, перпендикулярная одной из проекций общей прямой (биссектрисы или одной из сторон угла), и обе прямые перепроецируются на новую плоскость. На новом виде плоскость угла видна без искажений, а значит, и сам угол между прямыми - тоже.

Оба метода - вращение и замена плоскостей проекций - решают одну и ту же задачу: убрать искажение, вызванное тем, что плоскость угла не параллельна исходным плоскостям проекций. Выбор между ними - вопрос удобства компоновки конкретного чертежа, результат при аккуратном построении получается одинаковым.

Пример решения типовой задачи

Разберём числовой пример, совпадающий с дефолтом калькулятора. Прямые $AB$ и $AC$ пересекаются в точке $A$, направляющие векторы: $\vec{a} = \overrightarrow{AB} = (1,\,1,\,0)$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC} = (1,\,0,\,1)$.

Считаем скалярное произведение и модули:

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 0\cdot1 = 1, \qquad |\vec{a}| = \sqrt{1^2+1^2+0^2} = \sqrt{2}, \qquad |\vec{b}| = \sqrt{1^2+0^2+1^2} = \sqrt{2}.$

Подставляем в формулу угла:

$\cos\varphi = \frac{|1|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \;\Rightarrow\; \varphi = \arccos\frac{1}{2} = 60°.$

Для сравнения посчитаем кажущийся угол на виде сверху: проекции векторов на плоскость $xy$ - это $(1,1)$ и $(1,0)$, их скалярное произведение равно $1$, модули $\sqrt{2}$ и $1$, значит $\cos\varphi_h = 1/\sqrt{2}$, откуда $\varphi_h = 45°$. Ровно то же самое даёт и вид спереди для этих чисел. Разница в $15°$ между истинным углом и обеими проекциями - наглядная иллюстрация того, почему измерение транспортиром по одной проекции недопустимо.

Частые ошибки

• Измерение угла прямо на одной проекции. Транспортир на виде сверху или спереди показывает кажущийся угол, который в общем случае не равен истинному - нужна либо формула через векторы, либо построение (вращение, замена плоскостей).
• Путаница с знаком скалярного произведения. Без модуля в числителе формула $\cos\varphi = \vec{a}\cdot\vec{b}/(|\vec{a}||\vec{b}|)$ может дать тупой угол между направленными векторами - для прямой это неверно, берите модуль.
• Использование не тех точек. Направляющий вектор прямой $AB$ - это именно $\overrightarrow{AB} = B - A$, а не координаты точки $B$ сами по себе; частая ошибка - забыть вычесть координаты вершины $A$.
• Смешение вида сверху и вида спереди. Проекция на плоскость $H$ отбрасывает координату $z$, на плоскость $V$ - координату $y$; перепутанные оси дают неверный кажущийся угол (хотя истинный угол через векторы от этого не пострадает).
• Забытая проверка на вырожденный случай. Если прямая перпендикулярна плоскости проекций, её проекция на эту плоскость - точка, и «угол» на такой проекции не определён; попытка его измерить не имеет смысла.

FAQ

Как найти угол между двумя пересекающимися прямыми, если известны координаты трёх точек? Составьте направляющие векторы от общей вершины к двум другим точкам, посчитайте их скалярное произведение и модули, подставьте в $\cos\varphi = |\vec{a}\cdot\vec{b}|/(|\vec{a}|\,|\vec{b}|)$ и возьмите арккосинус.

Можно ли измерить угол между прямыми прямо на чертеже линейкой и транспортиром? Только если плоскость угла параллельна плоскости проекций, на которой вы измеряете. В общем случае нужно либо посчитать угол через координаты, либо построить его в натуральную величину методом вращения или заменой плоскостей проекций.

Чем отличается угол между пересекающимися прямыми от угла между скрещивающимися? У пересекающихся прямых есть общая точка, и они лежат в одной плоскости - угол между ними однозначен и измерим прямо в этой плоскости. У скрещивающихся прямых общей точки нет, и угол определяют через направляющие векторы, мысленно перенося одну прямую в точку другой - сама формула при этом та же самая.

Коротко

Угол между двумя пересекающимися прямыми в пространстве считается через направляющие векторы по формуле $\cos\varphi = |\vec{a}\cdot\vec{b}|/(|\vec{a}|\,|\vec{b}|)$ и не зависит от того, как прямые расположены относительно плоскостей проекций. На чертеже (эпюре) прямые видны только через проекции, а угол на проекции почти всегда искажён - совпадает с истинным лишь когда плоскость угла параллельна плоскости проекций. Чтобы получить истинную величину угла графически, используют метод вращения или метод замены плоскостей проекций - оба убирают это искажение, приводя плоскость угла в положение, параллельное одной из плоскостей проекций.