Правила смещения Содди при распаде: расчёт цепочек

Одно ядро редко превращается в стабильное за один распад. Уран-238 доходит до свинца-206 только после восьми альфа- и шести бета-минус-распадов подряд, и на каждом шаге меняется и элемент, и изотоп. Чтобы не расписывать всю цепочку вручную, правила смещения Содди можно применить сразу ко всей последовательности: зная только число альфа- и бета-распадов, легко получить итоговое зарядовое и массовое число, не выписывая промежуточные ядра одно за другим. Ниже - калькулятор, который строит такой путь на диаграмме Z-N для любой цепочки, а дальше разберём саму логику и четыре природных ряда распада.

Правило смещения Содди: два уравнения для одного шага

Сами по себе три случая смещения при одном распаде - куда сдвигается элемент при альфа-, бета-минус- и бета-плюс-распаде - подробно разобраны в базовом правиле смещения Содди-Фаянса. Здесь коротко напомним только два случая, которые встречаются в природных цепочках, и используем их как строительные блоки для целых рядов распада.

При альфа-распаде ядро теряет альфа-частицу $^{4}_{2}\text{He}$, поэтому зарядовое число уменьшается на 2, а массовое - на 4:

$^{A}_{Z}X \;\rightarrow\; {}^{A-4}_{Z-2}Y + {}^{4}_{2}\text{He}.$

При бета-минус-распаде нейтрон превращается в протон с испусканием электрона и антинейтрино, поэтому зарядовое число растёт на 1, а массовое не меняется:

$^{A}_{Z}X \;\rightarrow\; {}^{A}_{Z+1}Y + e^{-} + \bar{\nu}.$

Если применить эти два правила подряд $n_\alpha$ раз для альфа-распада и $n_\beta$ раз для бета-минус-распада, приращения зарядового и массового числа просто складываются:

$Z_к = Z_0 - 2n_\alpha + n_\beta, \qquad A_к = A_0 - 4n_\alpha.$

Массовое число зависит только от числа альфа-распадов - бета-распад не меняет число нуклонов, только превращает нейтрон в протон внутри того же ядра.

Почему конечный нуклид не зависит от порядка распадов

Рассчитать для своей задачи

Формулы выше складывают приращения $-2n_\alpha$ и $+n_\beta$ независимо от того, в каком порядке произошли распады. Это не совпадение, а прямое следствие того, что каждый шаг сохраняет суммарный заряд и суммарное число нуклонов сам по себе: неважно, испустится ли сначала альфа-частица, а потом произойдёт бета-минус-распад, или наоборот - координаты $(Z, A)$ после всей серии окажутся в одной и той же точке. Поэтому в реальном ряду распада, где чередование альфа- и бета-превращений может отличаться у разных изотопов одного элемента (ветвление), конечный стабильный нуклид у всех ветвей ряда один и тот же.

На практике это значит: чтобы решить задачу «сколько распадов потребовалось», не нужно знать реальную последовательность шагов - достаточно посчитать разницу зарядовых и массовых чисел начального и конечного нуклида.

Как найти число альфа- и бета-распадов между двумя нуклидами

Рассчитать для своей задачи

Обратная задача - по известным начальному и конечному нуклиду найти число распадов каждого типа - решается из тех же двух уравнений. Массовое число меняет только альфа-распад, поэтому:

$n_\alpha = \frac{A_0 - A_к}{4}.$

Если результат не целый - данные о начальном и конечном нуклиде несовместимы, где-то ошибка. Дальше из формулы для зарядового числа выражаем число бета-минус-распадов:

$n_\beta = Z_к - Z_0 + 2n_\alpha.$

Если $n_\beta$ получился отрицательным, значит в цепочке участвовали бета-плюс-распады или электронный захват (они смещают элемент в обратную сторону), а не только бета-минус - для природных рядов тяжёлых ядер такое не встречается, но стоит проверить условие задачи.

Четыре природных ряда распада

Рассчитать для своей задачи

Массовое число при альфа-распаде меняется на 4, а бета-распад его не трогает - поэтому все нуклиды одной цепочки имеют массовые числа одного вида $A = 4n + r$, где остаток $r$ от деления на 4 не меняется во всей цепочке. Отсюда и деление всех тяжёлых радиоактивных ядер на четыре ряда:

• Ряд $4n$ (ряд тория): начинается с тория-232 ($Z=90$), заканчивается стабильным свинцом-208. Всего 6 альфа- и 4 бета-минус-распада.
• Ряд $4n+1$ (ряд нептуния): начинается с нептуния-237 ($Z=93$), заканчивается висмутом-209. В природе почти отсутствует - период полураспада нептуния-237 мал по сравнению с возрастом Земли, весь его запас с момента образования планеты успел распасться, поэтому этот ряд заново получают только искусственно.
• Ряд $4n+2$ (ряд урана): начинается с урана-238 ($Z=92$), заканчивается стабильным свинцом-206. 8 альфа- и 6 бета-минус-распадов.
• Ряд $4n+3$ (ряд актиния): начинается с урана-235 ($Z=92$), заканчивается стабильным свинцом-207. 7 альфа- и 4 бета-минус-распада.

Ни один распад не может перевести ядро из одного ряда в другой - остаток $r$ у массового числа сохраняется навсегда, поэтому, например, продукт распада урана-238 никогда не встретится среди нуклидов ряда тория.

Пример: от урана-238 до свинца-206

Разберём типовую формулировку: уран-238 ($Z_0=92$, $A_0=238$) через серию альфа- и бета-минус-распадов превращается в стабильный свинец-206 ($Z_к=82$, $A_к=206$). Нужно найти число распадов каждого типа.

Сначала число альфа-распадов - по разнице массовых чисел:

$n_\alpha = \frac{238 - 206}{4} = \frac{32}{4} = 8.$

Теперь число бета-минус-распадов - по разнице зарядовых чисел с учётом уже найденных альфа-распадов:

$n_\beta = Z_к - Z_0 + 2n_\alpha = 82 - 92 + 16 = 6.$

Проверка: без бета-распадов после 8 альфа-распадов зарядовое число было бы $92 - 16 = 76$, что заметно меньше 82 - именно 6 бета-минус-распадов компенсируют эту разницу, поднимая заряд обратно до значения свинца. Итог: 8 альфа- и 6 бета-минус-распадов, что и задаёт весь ряд урана.

Частые ошибки

• Учитывать только альфа-распады. Массовое число действительно меняет только альфа-распад, но зарядовое число без учёта бета-распадов останется заниженным - оно обязательно нужно скорректировать через $n_\beta$.
• Путать знак приращения при бета-минус-распаде. Зарядовое число растёт (+1), а не падает - ядро становится более положительным, потому что нейтрон превращается в протон.
• Смешивать нуклиды разных рядов. Если остатки $A_0 \bmod 4$ и $A_к \bmod 4$ не совпадают, такой цепочки не существует - проверьте условие задачи заново.
• Забывать, что $n_\alpha$ должно быть целым числом. Если $(A_0 - A_к)/4$ не целое, в задаче ошибка в исходных данных или подразумевается другой конечный нуклид.
• Считать порядок распадов значимым для итога. Порядок влияет только на промежуточные нуклиды пути, а не на конечную точку - путать «какой нуклид получится через 3 шага» с «какой нуклид получится в итоге» приводит к лишним вычислениям.

FAQ

Сколько всего распадов в цепочке от урана-238 до свинца-206? Всего 14 распадов: 8 альфа- и 6 бета-минус-распадов. Массовое число уменьшается на $8 \times 4 = 32$ (с 238 до 206), а зарядовое - на $8 \times 2 - 6 = 10$ (с 92 до 82).

Почему ряд нептуния почти не встречается в природе? Потому что период полураспада нептуния-237 (около 2,1 миллиона лет) значительно меньше возраста Земли (4,5 миллиарда лет) - весь изначальный запас этого изотопа уже распался. Три остальных ряда (урана, актиния, тория) выжили, потому что их родоначальники живут миллиарды лет.

Можно ли по числу альфа- и бета-распадов однозначно восстановить исходный нуклид? Нет, только разницу $(Z_0-Z_к, A_0-A_к)$: одна и та же пара $(n_\alpha, n_\beta)$ соответствует бесконечному множеству пар начального и конечного нуклида, отличающихся общим сдвигом. Нужно знать хотя бы один из двух нуклидов цепочки полностью.

Коротко

Правила смещения Содди складываются вдоль всей цепочки распадов: альфа-распад даёт $\Delta Z=-2$, $\Delta A=-4$, бета-минус-распад - $\Delta Z=+1$, $\Delta A=0$, и итоговые $Z_к = Z_0 - 2n_\alpha + n_\beta$, $A_к = A_0 - 4n_\alpha$ не зависят от порядка шагов. Это разбивает все тяжёлые радиоактивные ядра на четыре ряда по остатку $A \bmod 4$ - тория, нептуния, урана и актиния, - каждый из которых заканчивается своим стабильным изотопом свинца или висмута.