Сила тяжести и вес тела: в чём разница и формулы

В быту слова «тяжесть» и «вес» кажутся синонимами, но в физике это разные силы, приложенные к разным телам. Сила тяжести - это сила притяжения Земли, действующая на само тело, а вес - сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес. Пока лифт стоит на месте, эти две силы численно совпадают, и путаница не мешает. Но как только опора начинает двигаться с ускорением - разгоняется вверх, тормозит, летит в свободном падении, - вес и сила тяжести расходятся, и именно на этом расхождении строится большинство задач ЕГЭ и вступительных экзаменов. Ниже разберём точные определения, выведем формулу веса через ускорение опоры и посчитаем невесомость и перегрузку на конкретных числах. Чтобы сразу увидеть, как вес меняется вместе с ускорением, покрути калькулятор ниже.

Что такое сила тяжести

Сила тяжести $F_т$ - это сила, с которой Земля притягивает тело, находящееся вблизи её поверхности. Она приложена к самому телу (а не к опоре), направлена строго вертикально вниз, к центру Земли, и вычисляется по формуле:

$F_т = mg,$

где $m$ - масса тела, а $g$ - ускорение свободного падения (у поверхности Земли обычно берут $g \approx 9{,}8$ м/с²). Сила тяжести не зависит от того, покоится тело, падает или летит с ускорением: пока тело находится на одной и той же высоте над Землёй, значение $mg$ остаётся постоянным. Именно поэтому силу тяжести часто путают с весом - на неподвижной опоре они действительно совпадают по модулю, и разница ускользает от внимания.

Что такое вес тела

Вес - это сила, с которой тело вследствие притяжения к Земле действует на опору (весы, пол, сиденье) или подвес (трос, нить). Ключевое отличие от силы тяжести: вес приложен не к телу, а к опоре или подвесу, и он не постоянен - его значение зависит от того, с каким ускорением движется вся система «тело плюс опора». По третьему закону Ньютона вес по модулю равен силе реакции опоры $N$, действующей на тело, поэтому вес можно найти, записав второй закон Ньютона для самого тела.

Пусть тело массой $m$ стоит на опоре (например, на полу лифта или на чаше весов), которая движется с ускорением $a$, направленным вертикально. Возьмём положительное направление вверх. На тело действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила реакции опоры $N$ вверх:

$N - mg = ma \quad\Rightarrow\quad N = m(g + a).$

Поскольку вес $P$ численно равен $N$, получаем главную формулу этой темы:

$P = m(g + a),$

где $a > 0$, если опора ускоряется вверх (или тормозит при движении вниз), и $a < 0$, если опора ускоряется вниз (или тормозит при движении вверх). При $a = 0$ (покой или равномерное движение) вес в точности равен силе тяжести - отсюда и бытовая путаница этих понятий.

Рассчитать для своей задачи

Невесомость и перегрузка

Формула $P = m(g + a)$ сразу объясняет два пограничных случая, которые почти всегда путают на экзаменах.

Если опора движется с ускорением $a = -g$, то есть падает свободно вместе с телом (оборвался трос лифта, спутник на орбите, самолёт в затяжном пикировании), вес обращается в ноль:

$P = m(g - g) = 0.$

Это и есть невесомость: сила тяжести никуда не делась и продолжает действовать на тело, но давить телу больше не на что - опора падает с той же скоростью, что и само тело, поэтому взаимного давления нет. При $a < -g$ тело физически отрывается от опоры: показания весов остаются нулевыми, а не отрицательными, потому что опора не может «тянуть» тело вниз сильнее, чем оно падает само.

Обратный случай - перегрузка. Если опора разгоняется вверх ($a > 0$), вес становится больше силы тяжести. Удобно ввести коэффициент перегрузки:

$n = \frac{P}{F_т} = 1 + \frac{a}{g}.$

При $n = 1$ вес равен силе тяжести (обычные условия), при $n = 0$ - невесомость, при $n > 1$ - перегрузка (лётчики и космонавты переносят кратковременные перегрузки $n = 3\text{--}8$, у обычного лифта $n$ редко превышает $1{,}2$).

Рассчитать для своей задачи

Вес тела на вираже и в мёртвой петле

Формула $P = m(g + a)$ работает не только для вертикального разгона, но и для любого криволинейного движения, если под $a$ понимать проекцию ускорения на вертикаль. Классический пример - движение по вертикальной окружности (мёртвая петля, американские горки, самолёт в вертикальном вираже).

В нижней точке петли радиусом $R$ со скоростью $v$ центростремительное ускорение направлено вверх, к центру окружности, поэтому оно складывается с $g$ так же, как ускорение разгоняющегося вверх лифта:

$N_{низ} = m\left(g + \frac{v^2}{R}\right).$

Вес в нижней точке всегда больше силы тяжести - отсюда ощущение, что тело «вдавливает» в сиденье на дне петли или горки. В верхней точке центростремительное ускорение направлено вниз, к тому же центру, поэтому оно уже вычитается:

$N_{верх} = m\left(\frac{v^2}{R} - g\right).$

Если скорость мала, $v^2/R < g$, формула даёт отрицательное $N$ - а сила реакции опоры не может быть отрицательной. Физически это значит, что тело отрывается от опоры (в петле - падает раньше вершины), точно так же, как в лифте при $a < -g$. Отсюда находится минимальная скорость прохождения верхней точки петли:

$v_{min} = \sqrt{gR}.$

Рассчитать для своей задачи

Пример: вес человека в разгоняющемся лифте

Человек массой $m = 80$ кг стоит на весах в кабине лифта, которая начинает движение вверх с ускорением $a = 2$ м/с². Сила тяжести не зависит от ускорения кабины:

$F_т = mg = 80 \cdot 9{,}8 = 784\ \text{Н}.$

Вес находим по выведенной формуле:

$P = m(g + a) = 80 \cdot (9{,}8 + 2) = 944\ \text{Н}.$

Коэффициент перегрузки: $n = 944/784 \approx 1{,}2$ - весы покажут массу примерно на 20% больше паспортной. Если та же кабина начнёт тормозить при спуске с тем же по модулю ускорением, знак $a$ поменяется на противоположный, и весы, наоборот, покажут меньше 80 кг.

Частые ошибки

• Считать силу тяжести и вес одной и той же силой. Сила тяжести приложена к телу, вес - к опоре или подвесу; совпадают они только по модулю и только при $a = 0$.
• Забывать знак ускорения опоры. Разгон вверх и торможение при спуске дают одинаковый знак $a$ (положительный), а разгон вниз и торможение при подъёме - отрицательный. Путаница в знаке меняет ответ на противоположный по смыслу.
• Путать невесомость с отсутствием силы тяжести. При $a = -g$ сила тяжести $mg$ никуда не исчезает, обнуляется именно вес - сила давления на опору.
• Подставлять отрицательный вес. Если по формуле получается $N < 0$, это сигнал, что тело оторвалось от опоры: физически вес остаётся нулевым, а не отрицательным.
• Не переводить единицы измерения. Массу нужно подставлять в килограммах, ускорение - в м/с², иначе размерность силы в ньютонах не сойдётся.

FAQ

Чем отличается сила тяжести от веса тела? Сила тяжести - сила притяжения Земли, приложенная к телу; вес - сила давления тела на опору (или подвес). При ускоренном движении опоры вес отличается от силы тяжести на слагаемое $ma$.

Может ли вес тела быть больше силы тяжести? Да, если опора ускоряется вверх (разгон лифта вверх, нижняя точка мёртвой петли): $P = m(g+a) > mg$. Это состояние называется перегрузкой.

Почему в невесомости вес равен нулю, а сила тяжести - нет? Потому что вес - это сила давления на опору, а в свободном падении ($a = -g$) опора и тело движутся с одинаковым ускорением и не давят друг на друга. Сила тяжести при этом продолжает разгонять тело к Земле.

Коротко

Сила тяжести $F_т = mg$ приложена к телу и не зависит от его ускорения, а вес $P = m(g+a)$ - сила давления на опору, которая меняется вместе с ускорением этой опоры. Они совпадают только при $a = 0$; при разгоне вверх вес растёт (перегрузка $n = 1 + a/g > 1$), при свободном падении $a = -g$ вес обращается в ноль (невесомость), а при недостаточной скорости на вершине мёртвой петли тело и вовсе отрывается от опоры. Одна и та же формула объясняет и лифт, и виражи, и орбитальную невесомость.