Вязкость газа и температура: формула Сазерленда

Вязкость газа с ростом температуры увеличивается - и это удивляет тех, кто привык к поведению жидкостей: у воды, масла или мёда вязкость с нагревом, наоборот, падает. У газов работает противоположный механизм, и понять его проще, чем кажется: достаточно вспомнить, что вязкость газа - это перенос импульса между слоями, движущимися с разной скоростью, а перенос импульса тем интенсивнее, чем быстрее движутся сами молекулы. Ниже разберём, откуда берётся зависимость $\eta \propto \sqrt{T}$ в простой молекулярно-кинетической модели, почему реальные газы растут с температурой ещё быстрее, что даёт более точная формула Сазерленда, и как считать вязкость в типовых задачах. А чтобы сразу увидеть разницу между простой моделью и точной формулой, покрутите калькулятор ниже.

Как возникает вязкость: перенос импульса между слоями газа

Представьте газ между двумя пластинами: нижняя неподвижна, верхняя движется со скоростью $u$. Слои газа между ними приобретают разную скорость упорядоченного движения - это течение с градиентом скорости $du/dy$. Молекулы при этом не стоят на месте: они хаотично перескакивают из одного слоя в соседний, унося с собой свой импульс упорядоченного движения. Молекула из быстрого слоя, попав в медленный, «разгоняет» его; молекула из медленного слоя, попав в быстрый, «тормозит» его. Именно этот обмен импульсом между слоями и есть внутреннее трение - вязкость.

Рассчитать для своей задачи

Количественно это записывается законом Ньютона для вязкого трения:

$\tau = \eta \, \frac{du}{dy},$

где $\tau$ - касательное напряжение (сила трения на единицу площади слоя), а коэффициент $\eta$ и есть динамическая вязкость. Чем больше молекул пересекает границу слоёв в единицу времени и чем больше импульса каждая уносит, тем выше $\eta$. Оба этих фактора растут с температурой - отсюда и рост вязкости газа с нагревом.

Простая молекулярно-кинетическая модель: почему η ~ √T

Молекулярно-кинетическая теория даёт вязкость газа через три величины: плотность $\rho$, среднюю скорость теплового движения молекул $\langle v\rangle$ и среднюю длину свободного пробега $\lambda$ (расстояние, которое молекула в среднем пролетает между столкновениями):

$\eta = \frac{1}{3}\,\rho\,\langle v\rangle\,\lambda.$

Средняя скорость молекул растёт с температурой по корню:

$\langle v\rangle = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}},$

где $M$ - молярная масса газа, $R$ - универсальная газовая постоянная. А вот средняя длина свободного пробега от температуры почти не зависит:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}\,\pi d^2 n},$

где $d$ - эффективный диаметр молекулы, $n$ - концентрация молекул. Из уравнения состояния идеального газа $p = nkT$ видно, что $n$ пропорциональна давлению и обратно пропорциональна температуре, но при подстановке в формулу для $\eta$ концентрация $n$ полностью сокращается: плотность $\rho = nm$ содержит $n$ в числителе, а $\lambda$ - в знаменателе. В результате вязкость идеального газа не зависит ни от давления, ни от концентрации молекул - довольно неожиданный факт, который часто проверяют в задачах. После сокращений остаётся зависимость только от температуры:

$\eta_{пр}(T) = \eta_0\,\sqrt{\frac{T}{T_0}},$

где $\eta_0$ - вязкость газа при некоторой опорной температуре $T_0$ (обычно берут табличное значение при комнатной температуре). Эта формула - первое приближение: она верно предсказывает рост вязкости с температурой, но недооценивает скорость этого роста, особенно вдали от опорной точки.

Формула Сазерленда: точнее там, где простая модель ошибается

Простая модель твёрдых сфер игнорирует межмолекулярное притяжение. На самом деле при не слишком высоких температурах молекулы газа слегка притягиваются друг к другу, и это эффективно увеличивает сечение столкновений, уменьшая $\lambda$ сильнее, чем предсказывает геометрический диаметр $d$. Учёт этого эффекта даёт эмпирическую формулу Сазерленда:

$\eta_C(T) = \eta_0\,\frac{T_0 + C}{T + C}\left(\frac{T}{T_0}\right)^{3/2},$

где $C$ - постоянная Сазерленда (в кельвинах), своя для каждого газа: у воздуха $C \approx 120$ К, у углекислого газа - заметно больше, около $240$ К (сильнее межмолекулярное притяжение), у аргона - около $144$ К. При $T \gg C$ поправочный множитель $(T_0+C)/(T+C)$ стремится к постоянной величине, и рост вязкости приближается к тому же характеру $\sqrt{T}$, что и в простой модели, но с другим коэффициентом. А вблизи опорной температуры $T_0$ и ниже неё формула Сазерленда даёт заметно более крутой ход кривой, чем простой корень - именно эту разницу и показывает калькулятор выше.

Насколько велико расхождение моделей

Разница между простой моделью и формулой Сазерленда - не мелкая поправка на проценты, а вполне измеримое расхождение, которое растёт по мере удаления от опорной точки $T_0$ в любую сторону.

Рассчитать для своей задачи

Для воздуха при $T = 600$ К формула Сазерленда даёт $\eta \approx 30{,}9$ мкПа·с, а простая модель $\sqrt{T}$ - только $\eta \approx 26{,}2$ мкПа·с: расхождение около $17{,}7\,\%$. При $T = 1000$ К разница вырастает уже до $26\,\%$. Это значит, что в инженерных расчётах (вязкость воздуха в турбине, в потоке газа за ударной волной, в модели пограничного слоя) простая формула $\sqrt{T}$ годится лишь для грубой оценки, а для точных расчётов используют именно формулу Сазерленда или табличные данные.

Почему у жидкостей вязкость падает, а у газов растёт

Механизм вязкости в жидкости принципиально другой. В жидкости молекулы расположены плотно, почти как в твёрдом теле, и удерживаются друг возле друга силами притяжения. Течение слоя относительно соседнего требует, чтобы молекула «выпрыгнула» из потенциальной ямы, созданной соседями, и заняла новое место. Это активационный процесс: чем выше температура, тем чаще у молекулы хватает тепловой энергии для такого скачка, и тем легче слоям скользить друг относительно друга - вязкость жидкости падает с температурой почти экспоненциально.

Рассчитать для своей задачи

В газе всё наоборот: молекулы разрежены, свободный пробег велик, и трение создаётся не притяжением соседей, а переносом импульса при перелётах между слоями. Чем быстрее молекулы летают, тем больше импульса они переносят за единицу времени - вязкость растёт. Поэтому один и тот же вопрос «как вязкость зависит от температуры» имеет для газов и жидкостей противоположные ответы, и в задачах важно сразу определить, о каком агрегатном состоянии идёт речь.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: вязкость воздуха при опорной температуре $T_0 = 291{,}15$ К равна $\eta_0 = 18{,}27$ мкПа·с, постоянная Сазерленда для воздуха $C = 120$ К. Нужно найти вязкость воздуха при $T = 600$ К по формуле Сазерленда и сравнить с оценкой простой модели $\sqrt{T}$.

Сначала простая модель (результат в мкПа·с):

$\eta_{пр}(600) = 18{,}27\sqrt{\frac{600}{291{,}15}} = 18{,}27 \cdot 1{,}436 \approx 26{,}2.$

Теперь формула Сазерленда (тоже в мкПа·с):

$\eta_C(600) = 18{,}27\cdot\frac{291{,}15+120}{600+120}\left(\frac{600}{291{,}15}\right)^{3/2} = 18{,}27\cdot 0{,}571\cdot 2{,}959 \approx 30{,}9.$

Разница между оценками - около $17{,}7\,\%$: это и есть цена приближения $\eta \propto \sqrt{T}$ без учёта притяжения молекул. Для грубой прикидки «на сколько вырастет вязкость при нагреве вдвое» простая модель годится, но для конкретного численного ответа в задаче нужна именно формула Сазерленда с табличной постоянной $C$ для данного газа.

Частые ошибки

• Подставлять температуру в градусах Цельсия. Обе формулы работают только с абсолютной температурой в кельвинах - переводите $t_{°C}$ в $T_K = t_{°C} + 273{,}15$ перед расчётом.
• Считать, что вязкость газа зависит от давления. В идеальногазовом приближении концентрация молекул полностью сокращается в формуле $\eta = \tfrac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda$ - вязкость газа зависит только от температуры (и рода газа), но не от давления.
• Переносить поведение жидкости на газ (или наоборот). Вязкость жидкости с нагревом падает, вязкость газа - растёт. Это разные физические механизмы, и правило одного агрегатного состояния нельзя механически применять к другому.
• Использовать простую модель $\sqrt{T}$ там, где нужна точность. Вдали от опорной температуры расхождение с формулой Сазерленда достигает 20-30 %; для точных расчётов нужна постоянная Сазерленда конкретного газа.
• Путать постоянную Сазерленда $C$ с опорной температурой $T_0$. Это разные параметры: $T_0$ - точка, где известна вязкость $\eta_0$, а $C$ - характеристика межмолекулярного притяжения, задающая кривизну графика.

FAQ

Почему вязкость газа растёт с температурой, а вязкость жидкости падает? Вязкость газа определяется переносом импульса при перелётах молекул между слоями течения - чем быстрее молекулы, тем интенсивнее перенос, тем выше вязкость. В жидкости молекулы плотно упакованы и удерживаются притяжением соседей; течение требует, чтобы молекула «перепрыгнула» в новое положение, а с ростом температуры такие перескоки происходят легче - вязкость падает.

От чего ещё зависит вязкость идеального газа, кроме температуры? Формально - только от рода газа (через молярную массу $M$ и эффективный диаметр молекулы $d$, а для формулы Сазерленда - ещё через постоянную $C$). От давления и концентрации молекул вязкость идеального газа не зависит, поскольку эти величины сокращаются при выводе формулы $\eta = \tfrac{1}{3}\rho\langle v\rangle\lambda$.

Насколько формула Сазерленда точнее простой модели √T? Обе формулы совпадают в опорной точке $T_0$, но при удалении от неё простая модель занижает рост вязкости: для воздуха при 600 К расхождение уже около 17-18 %, а при 1000 К - около 26 %. Формула Сазерленда учитывает межмолекулярное притяжение через постоянную $C$ и лучше описывает эксперимент во всём практическом диапазоне температур.

Коротко

Вязкость газа растёт с температурой, потому что вязкость - это перенос импульса при столкновениях и перелётах молекул между слоями течения, а быстрее движущиеся молекулы переносят больше импульса. Простая молекулярно-кинетическая модель даёт зависимость $\eta_{пр} \propto \sqrt{T}$ и показывает, что вязкость идеального газа не зависит от давления. Более точная эмпирическая формула Сазерленда $\eta_C(T) = \eta_0\,\tfrac{T_0+C}{T+C}\left(\tfrac{T}{T_0}\right)^{3/2}$ учитывает межмолекулярное притяжение и точнее совпадает с экспериментом, особенно вдали от опорной температуры. Это прямая противоположность жидкостям, чья вязкость с нагревом падает - разные молекулярные механизмы дают разные знаки одной и той же зависимости.