Как найти функцию распределения: пример и график

Функция распределения - это универсальный способ задать любую случайную величину: и дискретную, и непрерывную. По определению это функция $F(x) = P(X < x)$ - вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее заданного числа $x$. Задача «найти функцию распределения» встречается в первой же теме курса теории вероятностей: на входе дан либо ряд распределения дискретной СВ (таблица «значение - вероятность»), либо плотность непрерывной СВ, а нужно получить $F(x)$ как функцию, записанную по промежуткам, и построить её график. Ниже разберём дискретный случай по шагам на конкретных числах, покажем, как из плотности получается $F(x)$ у непрерывной величины, и соберём частые ошибки.

Чтобы почувствовать, как вероятности «накапливаются» в ступеньки, покрутите калькулятор: задавайте веса значений, и график функции распределения перестраивается сразу.

Разбор примера для дискретной СВ по шагам

Дано. Дискретная случайная величина $X$ задана рядом распределения:

$$\begin{array}{c|cccc} x_i & -1 & 0 & 2 & 3 \\ \hline p_i & 0{,}2 & 0{,}1 & 0{,}4 & 0{,}3 \end{array}$$

Найти: функцию распределения $F(x)$ и её график.

Шаг 1. Проверяем нормировку. Сумма всех вероятностей ряда обязана равняться единице:

$\sum_i p_i = 0{,}2 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 = 1.$

Условие выполнено - ряд задан корректно, можно искать $F(x)$.

Шаг 2. Вспоминаем определение. Функция распределения $F(x) = P(X < x)$ для дискретной величины собирается сложением вероятностей всех значений, которые строго меньше $x$:

$F(x) = \sum_{x_i < x} p_i.$

Значит, $F(x)$ постоянна между соседними значениями $x_i$ и скачком возрастает ровно на $p_i$, как только $x$ переходит через очередное значение $x_i$.

Шаг 3. Идём по промежуткам слева направо и накапливаем вероятности:

• при $x \le -1$ меньших значений ещё нет, поэтому $F(x) = 0$;
• при $-1 < x \le 0$ учтено только $x_1 = -1$: $F(x) = 0{,}2$;
• при $0 < x \le 2$ добавилось $x_2 = 0$: $F(x) = 0{,}2 + 0{,}1 = 0{,}3$;
• при $2 < x \le 3$ добавилось $x_3 = 2$: $F(x) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7$;
• при $x > 3$ учтены все значения: $F(x) = 0{,}7 + 0{,}3 = 1$.

Шаг 4. Записываем ответ кусочной функцией:

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le -1, \\ 0{,}2, & -1 < x \le 0, \\ 0{,}3, & 0 < x \le 2, \\ 0{,}7, & 2 < x \le 3, \\ 1, & x > 3. \end{cases}$$

График $F(x)$ - ступенчатая неубывающая линия: горизонтальные полки на уровнях $0;\ 0{,}2;\ 0{,}3;\ 0{,}7;\ 1$ и вертикальные скачки в точках $x_i$. Высота каждого скачка равна вероятности $p_i$ соответствующего значения. Слева функция начинается с нуля, справа выходит на единицу и там остаётся.

Свойства функции распределения, которыми себя проверяют

Готовый ответ полезно прогнать через свойства $F(x)$ - если хоть одно нарушено, где-то ошибка:

1. Ограниченность: $0 \le F(x) \le 1$ при любом $x$, ведь это вероятность.
2. Неубывание: если $x_1 < x_2$, то $F(x_1) \le F(x_2)$. График не может «падать».
3. Пределы на бесконечности: $\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ и $\lim_{x \to +\infty} F(x) = 1$.
4. Вероятность попадания в промежуток: $P(a \le X < b) = F(b) - F(a)$ - именно ради этой формулы функцию распределения и вводят.

Например, для нашей задачи $P(0 \le X < 3) = F(3) - F(0) = 0{,}7 - 0{,}2 = 0{,}5$.

Непрерывная случайная величина: интеграл вместо суммы

Если величина непрерывна и задана плотностью $f(x)$, сумма превращается в интеграл - накопление идёт непрерывно:

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.$

Пусть, к примеру, $f(x) = 3x^2$ при $0 \le x \le 1$ и $f(x) = 0$ вне отрезка. Тогда на самом отрезке

$F(x) = \int_{0}^{x} 3t^2\,dt = t^3 \Big|_0^x = x^3,$

а целиком функция распределения записывается тоже кусочно:

$$F(x) = \begin{cases} 0, & x \le 0, \\ x^3, & 0 < x \le 1, \\ 1, & x > 1. \end{cases}$$

В отличие от дискретного случая, здесь $F(x)$ непрерывна (без скачков) и на «рабочем» участке гладко растёт от 0 до 1. Обратный переход тоже полезен: плотность - это производная функции распределения, $f(x) = F'(x)$.

Частые ошибки

• Путают $F(x)$ и плотность/ряд. Ряд $p_i$ и плотность $f(x)$ - это «локальная» вероятность значения, а $F(x)$ - накопленная вероятность слева. Их нельзя приравнивать.
• Теряют единицу справа. После последнего значения $F(x)$ обязана быть равна 1, а не последней вероятности $p_n$. Забытая единица - самый частый недочёт.
• Строгие и нестрогие знаки. При определении $F(x) = P(X < x)$ скачок «относится» к правому промежутку: $F(x_i)$ ещё равна старому уровню, а новое значение достигается сразу правее $x_i$. Часть учебников берёт $F(x) = P(X \le x)$ - тогда неравенства в кусочной записи сдвигаются; выбирайте определение из своего курса и держитесь его.
• Не проверяют нормировку. Если $\sum p_i \ne 1$ или $\int f(x)\,dx \ne 1$, задача поставлена с ошибкой (или потеряно значение) - считать $F(x)$ ещё рано.
• Рисуют скачок наклонной линией. У дискретной СВ переход между полками строго вертикальный, а не под углом.

FAQ

Чем ряд распределения отличается от функции распределения? Ряд (или плотность) описывает вероятность отдельного значения, а функция распределения $F(x)$ - суммарную вероятность всех значений левее $x$. Из ряда всегда можно получить $F(x)$ накоплением, а из $F(x)$ восстановить скачки (для дискретной) или плотность как производную (для непрерывной).

Почему график дискретной СВ ступенчатый? Потому что вероятность «сосредоточена» в отдельных точках $x_i$. Между ними ничего не происходит - $F(x)$ постоянна, а в самих точках накопленная вероятность мгновенно подрастает на $p_i$, давая вертикальный скачок.

Что делать, если в задаче дано $P(X \le x)$, а не $P(X < x)$? Это второе распространённое определение функции распределения. Меняется только то, какому промежутку принадлежит точка $x_i$: при $F(x) = P(X \le x)$ скачок включается в точку, и неравенства становятся вида $x_{i} \le x < x_{i+1}$. Само накопление вероятностей то же самое.

Коротко

Функция распределения $F(x) = P(X < x)$ - накопленная слева вероятность. Для дискретной СВ её ищут сложением $p_i$ по всем значениям левее $x$: получается ступенчатая функция, скачущая на $p_i$ в точках $x_i$, с нулём слева и единицей справа. Для непрерывной СВ сумма заменяется интегралом от плотности: $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt$, и функция выходит гладкой. Ответ всегда проверяют по свойствам: $0 \le F \le 1$, неубывание, пределы 0 и 1 на бесконечностях.