Как найти расстояние от точки до прямой

Расстояние от точки до прямой - одна из базовых задач аналитической геометрии на плоскости. Под расстоянием понимают длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую: это кратчайший из всех отрезков, соединяющих точку с прямой. Задача встречается в первом семестре курса линейной алгебры и аналитической геометрии, в задачах на треугольники (высота как расстояние от вершины до противоположной стороны), при вычислении зазоров и допусков в инженерных расчётах. На входе обычно даны координаты точки $P(x_0;\ y_0)$ и уравнение прямой - чаще всего в общем виде $Ax + By + C = 0$, реже с угловым коэффициентом $y = kx + b$ или через две точки, через которые прямая проходит. Разберём, как свести любую из этих форм к одной короткой формуле и посчитать ответ без ошибок.

Формула и разбор примера по шагам

Если прямая задана общим уравнением $Ax + By + C = 0$, а точка имеет координаты $P(x_0;\ y_0)$, то расстояние от точки до прямой находится по формуле:

$$d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

В числителе стоит модуль результата подстановки координат точки в левую часть уравнения прямой, в знаменателе - длина нормального вектора $\vec{n} = (A;\ B)$. Модуль в числителе обязателен: расстояние не может быть отрицательным, а выражение $A x_0 + B y_0 + C$ само по себе бывает и положительным, и отрицательным - его знак лишь показывает, по какую сторону от прямой лежит точка.

Разберём конкретную задачу. Дано: точка $P(5;\ 6)$ и прямая $3x - 4y + 2 = 0$. Найти: расстояние от точки до прямой.

Шаг 1. Выписываем коэффициенты. Сравнивая $3x - 4y + 2 = 0$ с общим видом $Ax + By + C = 0$, получаем:

$$A = 3, \qquad B = -4, \qquad C = 2.$$

Шаг 2. Считаем числитель - подставляем координаты точки в левую часть уравнения и берём модуль:

$$|A x_0 + B y_0 + C| = |3 \cdot 5 + (-4) \cdot 6 + 2| = |15 - 24 + 2| = |-7| = 7.$$

Шаг 3. Считаем знаменатель - длину нормального вектора:

$$\sqrt{A^2 + B^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5.$$

Шаг 4. Делим и получаем ответ:

$$d = \frac{7}{5} = 1{,}4.$$

Расстояние от точки $P(5;\ 6)$ до прямой $3x - 4y + 2 = 0$ равно $1{,}4$. Калькулятор выше собирает ровно эту цепочку: подставь свои $A$, $B$, $C$ и координаты точки - он покажет числитель со знаком, знаменатель и итоговое расстояние, а на графике нарисует прямую, точку и перпендикуляр до неё.

Откуда берётся формула

Формулу легко восстановить, если забыл. Вектор $\vec{n} = (A;\ B)$ перпендикулярен прямой $Ax + By + C = 0$ - это её нормаль. Возьмём на прямой любую точку $M(x_1;\ y_1)$; тогда $A x_1 + B y_1 + C = 0$. Расстояние от $P$ до прямой - это модуль проекции вектора $\vec{MP} = (x_0 - x_1;\ y_0 - y_1)$ на направление нормали:

$$d = \frac{|\vec{MP} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|A(x_0 - x_1) + B(y_0 - y_1)|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.$$

Раскрыв скобки в числителе и подставив $-A x_1 - B y_1 = C$, получаем $|A x_0 + B y_0 + C|$ - ту самую формулу. Понимание вывода помогает не путать, что стоит в числителе, а что в знаменателе.

Если прямая задана иначе

Прямая с угловым коэффициентом $y = kx + b$. Её нужно сначала привести к общему виду, перенеся всё в одну сторону: $kx - y + b = 0$. Тогда $A = k$, $B = -1$, $C = b$, и формула превращается в

$$d = \frac{|k x_0 - y_0 + b|}{\sqrt{k^2 + 1}}.$$

Например, для прямой $y = 2x + 1$ имеем $A = 2$, $B = -1$, $C = 1$.

Прямая через две точки $P_1(x_1;\ y_1)$ и $P_2(x_2;\ y_2)$. Сначала составляем её общее уравнение. Направляющий вектор $(x_2 - x_1;\ y_2 - y_1)$, а нормаль - перпендикулярный ему $(y_2 - y_1;\ -(x_2 - x_1))$, поэтому

$$A = y_2 - y_1, \qquad B = x_1 - x_2, \qquad C = -(A x_1 + B y_1),$$

после чего работает та же основная формула. Смежная задача - как составить уравнение прямой по двум точкам - разбирается отдельно, но принцип тот же: сводим к $Ax + By + C = 0$.

Частые ошибки

• Забыть модуль в числителе. Без него при точке «под прямой» получается отрицательное расстояние. Модуль обязателен всегда.
• Не привести уравнение к общему виду. Для $y = kx + b$ или $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ нельзя сразу хватать коэффициенты - сначала перенести всё в левую часть, вид $Ax + By + C = 0$.
• Потерять знак коэффициента. В $3x - 4y + 2 = 0$ коэффициент $B = -4$, а не $4$. При возведении в квадрат знак не важен ($B^2 = 16$), но в числителе $B y_0$ ошибка в знаке ломает ответ.
• Считать $A^2 + B^2$, но забыть корень. В знаменателе стоит именно $\sqrt{A^2 + B^2}$, а не $A^2 + B^2$.
• Путать с расстоянием между точкой и конкретной точкой прямой. Расстояние до прямой - это перпендикуляр (минимум), а не отрезок до произвольно взятой на прямой точки.

FAQ

Что означает знак выражения $A x_0 + B y_0 + C$ до взятия модуля? Знак показывает, по какую сторону от прямой лежит точка. Для двух точек по разные стороны знаки будут противоположными. На само расстояние знак не влияет - его снимает модуль.

Как найти координаты основания перпендикуляра, а не только длину? Основание $H$ получается сдвигом точки $P$ вдоль нормали: $H = \left(x_0 - A t;\ y_0 - B t\right)$, где $t = \dfrac{A x_0 + B y_0 + C}{A^2 + B^2}$. В разобранном примере $t = -7/25 = -0{,}28$, откуда $H(5{,}84;\ 4{,}88)$. Калькулятор показывает основание точкой $H$ на графике.

Чему равно расстояние, если точка лежит на прямой? Нулю. Тогда $A x_0 + B y_0 + C = 0$, числитель обращается в ноль, и $d = 0$ - это и есть признак принадлежности точки прямой.

Работает ли формула в пространстве? Нет. В трёхмерном пространстве уравнение $Ax + By + Cz + D = 0$ задаёт плоскость, и аналогичная формула даёт расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до прямой в пространстве считается иначе - через векторное произведение.

Коротко

Расстояние от точки $P(x_0;\ y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ - это длина перпендикуляра, и находится оно по формуле $d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$. Порядок действий: привести уравнение прямой к общему виду, выписать $A$, $B$, $C$ с учётом знаков, подставить координаты точки в числитель и взять модуль, посчитать $\sqrt{A^2 + B^2}$ в знаменателе и разделить. Для примера $P(5;\ 6)$ и $3x - 4y + 2 = 0$ ответ $d = 7/5 = 1{,}4$. Если прямая задана как $y = kx + b$ или через две точки - сперва сводим её к $Ax + By + C = 0$, дальше формула одна и та же.