Как найти pH раствора кислоты и щёлочи: решение

Дано: три раствора: соляная кислота $\text{HCl}$ с концентрацией $0{,}01$ моль/л, гидроксид бария $\text{Ba(OH)}_2$ с концентрацией $0{,}005$ моль/л и уксусная кислота $\text{CH}_3\text{COOH}$ с концентрацией $0{,}2$ моль/л и константой $K_a = 1{,}8 \cdot 10^{-5}$. Найти: pH каждого раствора и объяснить, почему уксусная кислота при большей концентрации оказывается менее кислой.

Формула выбирается по типу электролита: у сильной кислоты и щёлочи концентрация ионов берётся прямо из условия с учётом числа ионов в формуле, у слабой кислоты её находят через константу. Ответ: $\mathrm{pH}(\text{HCl}) = 2{,}00$, $\mathrm{pH}(\text{Ba(OH)}_2) = 12{,}00$, $\mathrm{pH}(\text{CH}_3\text{COOH}) = 2{,}72$. Калькулятор сверху считает pH для четырёх типов растворов и показывает на графике, как pH меняется при разбавлении.

Решение по шагам

Дано.

Температура 25 °C, поэтому ионное произведение воды $K_w = 10^{-14}$, а $\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14$.

Шаг 1. Определяем тип каждого электролита. Соляная кислота и гидроксид бария относятся к сильным электролитам: в разбавленном растворе они распадаются на ионы практически полностью. Уксусная кислота слабая, она диссоциирует обратимо и лишь частично. Подсказка есть в самом условии: константу диссоциации дают только для слабых кислот и оснований.

Шаг 2. pH соляной кислоты. Одна молекула $\text{HCl}$ даёт один ион водорода, поэтому концентрация ионов равна концентрации кислоты:

$$\text{HCl} \rightarrow \text{H}^+ + \text{Cl}^-, \qquad [\text{H}^+] = c = 0{,}01 = 10^{-2} \ \text{моль/л},$$ $$\mathrm{pH} = -\lg [\text{H}^+] = -\lg 10^{-2} = 2{,}00 .$$

Ионы водорода от самой воды здесь можно не учитывать. Кислота подавляет автопротолиз, и вода добавляет около $10^{-12}$ моль/л, в десять миллиардов раз меньше, чем дала кислота.

Шаг 3. pH раствора гидроксида бария. Щёлочь даёт в раствор гидроксид-ионы, причём каждая формульная единица $\text{Ba(OH)}_2$ отдаёт два иона $\text{OH}^-$:

$$\text{Ba(OH)}_2 \rightarrow \text{Ba}^{2+} + 2\,\text{OH}^-, \qquad [\text{OH}^-] = 2c = 2 \cdot 0{,}005 = 0{,}01 \ \text{моль/л}.$$

Сначала находим гидроксильный показатель, затем переходим к pH:

$$\mathrm{pOH} = -\lg [\text{OH}^-] = -\lg 10^{-2} = 2{,}00, \qquad \mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH} = 12{,}00 .$$

Тот же результат получится и напрямую. По ионному произведению воды $[\text{H}^+] = K_w / [\text{OH}^-] = 10^{-14} / 10^{-2} = 10^{-12}$ моль/л, отсюда pH равен 12.

Шаг 4. pH уксусной кислоты по константе. Записываем равновесие диссоциации. Обозначим через $x$ концентрацию ионов водорода; ацетат-ионов получается столько же, а нераспавшейся кислоты остаётся $c - x$:

$$\text{CH}_3\text{COOH} \rightleftharpoons \text{CH}_3\text{COO}^- + \text{H}^+, \qquad K_a = \frac{x^2}{c - x}.$$

Кислота слабая, на ионы распадается малая доля молекул, поэтому в знаменателе $c - x \approx c$. Тогда

$$[\text{H}^+] \approx \sqrt{K_a c} = \sqrt{1{,}8 \cdot 10^{-5} \cdot 0{,}2} = \sqrt{3{,}6 \cdot 10^{-6}} = 1{,}90 \cdot 10^{-3} \ \text{моль/л},$$ $$\mathrm{pH} = -\lg \left(1{,}90 \cdot 10^{-3}\right) = 3 - \lg 1{,}90 = 2{,}72 .$$

Шаг 5. Проверяем, можно ли было отбросить $x$. Доля распавшихся молекул:

$$\alpha = \frac{[\text{H}^+]}{c} = \frac{1{,}90 \cdot 10^{-3}}{0{,}2} = 0{,}0095 = 0{,}95\,\% .$$

Это меньше 5 %, значит, приближение законно. Контрольный расчёт через квадратное уравнение $x^2 + K_a x - K_a c = 0$ даёт $x = 1{,}89 \cdot 10^{-3}$ моль/л и тот же pH 2,72, расхождение только в третьем знаке. Как эта доля меняется с концентрацией и почему она растёт при разбавлении, разобрано в задаче как найти степень диссоциации.

Шаг 6. Сравниваем две кислоты. Уксусной кислоты в растворе в 20 раз больше, чем соляной, но ионов водорода она даёт в $0{,}01 / 0{,}00189 \approx 5{,}3$ раза меньше. Из каждой тысячи её молекул на ионы распадается меньше десяти, остальные остаются целыми и на кислотность среды не влияют. Шкала pH учитывает только свободные ионы водорода, а не общее количество кислоты. Поэтому раствор слабой кислоты менее кислый: 2,72 против 2,00.

Ответ. $\mathrm{pH}(\text{HCl}) = 2{,}00$; $\mathrm{pH}(\text{Ba(OH)}_2) = 12{,}00$ при $\mathrm{pOH} = 2{,}00$; $\mathrm{pH}(\text{CH}_3\text{COOH}) = 2{,}72$ при $[\text{H}^+] = 1{,}9 \cdot 10^{-3}$ моль/л. Уксусная кислота менее кислая, потому что диссоциирует лишь на 0,95 %.

Формула и откуда она берётся

Водородный показатель предложил в 1909 году датский химик Сёренсен, чтобы не записывать концентрации вроде $0{,}0000001$ моль/л. Определение одно для любых водных растворов:

$$\mathrm{pH} = -\lg [\text{H}^+], \qquad [\text{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}} .$$

Знак минус добавлен для удобства: концентрации ионов меньше единицы, их логарифмы отрицательны, а с минусом шкала становится положительной. Логарифм задаёт главное свойство шкалы. Изменение pH на единицу означает десятикратное изменение концентрации ионов водорода. Раствор с pH 2 в десять раз кислее раствора с pH 3 и в сто раз кислее раствора с pH 4.

Переход между pH и pOH опирается на ионное произведение воды $[\text{H}^+][\text{OH}^-] = K_w = 10^{-14}$ при 25 °C. Если прологарифмировать это равенство, получится $\mathrm{pH} + \mathrm{pOH} = 14$. Откуда берётся $K_w$ и почему при нагревании нейтральная точка уходит ниже 7, объясняет статья про ионное произведение воды.

Формулу для слабой кислоты удобно держать и в логарифмическом виде. Логарифмируем $[\text{H}^+] = \sqrt{K_a c}$ и получаем

$$\mathrm{pH} = \tfrac{1}{2}\left(\mathrm{p}K_a - \lg c\right) = \tfrac{1}{2}\left(4{,}74 + 0{,}70\right) = 2{,}72,$$

где $\mathrm{p}K_a = -\lg K_a$. Из этой записи видно, почему слабая кислота вдвое спокойнее реагирует на разбавление. У сильной кислоты разбавление в 10 раз поднимает pH ровно на единицу, у слабой всего на 0,5. На графике калькулятора это заметно сразу: линия уксусной кислоты вдвое положе линии соляной и лежит ближе к нейтральной отметке. Вывод самой формулы из закона действующих масс подробно дан в статье про закон разведения Оствальда.

Слабое основание и другие варианты условия

Для слабого основания расчёт зеркальный: вместо $K_a$ берут константу основности $K_b$, находят концентрацию гидроксид-ионов, затем pOH и только потом pH. Для 0,2 М раствора аммиака с $K_b = 1{,}8 \cdot 10^{-5}$ получается $[\text{OH}^-] \approx \sqrt{K_b c} = 1{,}90 \cdot 10^{-3}$ моль/л, $\mathrm{pOH} = 2{,}72$ и $\mathrm{pH} = 14 - 2{,}72 = 11{,}28$. Переключи в калькуляторе тип раствора на «Слабое основание»: точка аммиака стоит на графике зеркально уксусной кислоте относительно линии pH 7.

Другие формулировки сводятся к тем же формулам. Меняется лишь то, как получить молярную концентрацию до расчёта pH:

Например, 0,365 г хлороводорода в 1 л раствора дают $0{,}365 / 36{,}5 = 0{,}01$ моль/л, то есть снова pH 2. Переход от массовой доли к молярности с плотностью разобран в материале про задачи на концентрацию соли.

Если смешали 50 мл 0,1 М соляной кислоты и 30 мл 0,1 М щёлочи, нейтрализация съедает 3 ммоль ионов водорода из 5. Оставшиеся 2 ммоль распределяются в 80 мл, концентрация становится 0,025 моль/л, pH равен 1,60. Как pH меняется по мере добавления щёлочи, показывает кривая титрования сильной кислоты.

Раствор соли вроде ацетата натрия формально ни кислота, ни щёлочь, но pH у него не равен 7. Его считают через константу гидролиза, этот случай разобран отдельно в статье константа гидролиза: расчёт.

Как проверить ответ без пересчёта

Несколько быстрых проверок ловят большинство ошибок ещё до сдачи работы.

Раствор кислоты всегда даёт pH ниже 7, раствор щёлочи выше 7. Если у кислоты вышло 9, скорее всего потерян минус перед логарифмом или для основания забыт переход через pOH.

Для сильной одноосновной кислоты с концентрацией $10^{-n}$ моль/л pH равен ровно $n$: 0,01 М даёт 2, 0,001 М даёт 3. Для щёлочи с одним гидроксид-ионом в формуле ответ зеркальный, $14 - n$.

Слабая кислота всегда менее кислая, чем сильная той же концентрации. Соляная кислота с концентрацией 0,2 моль/л дала бы pH 0,70, а уксусная кислота той же концентрации даёт 2,72.

Приближённую формулу проверяют по доле распада $\sqrt{K_a / c}$. Если она больше 5 %, ответ пересчитывают по квадратному уравнению. Пример: для 0,2 М плавиковой кислоты с $K_a = 6{,}8 \cdot 10^{-4}$ оценка доли распада даёт 5,8 %, приближённая формула даёт pH 1,93, а точный расчёт 1,95. Выбери в калькуляторе HF, и он сам предупредит, что приближение не годится.

Частые ошибки

• Забывают число ионов в формуле. Для $\text{Ba(OH)}_2$ концентрация гидроксид-ионов равна $2c$. Если взять 0,005 вместо 0,01, выйдет $\mathrm{pOH} = 2{,}30$ и pH 11,70 вместо 12,00.
• Считают слабую кислоту сильной. Подстановка $[\text{H}^+] = 0{,}2$ для уксусной кислоты даёт pH 0,70 вместо 2,72. Концентрация ионов при этом завышена примерно в сто раз.
• Дают pOH вместо pH. Для гидроксида бария ответ 2 означает pOH. Сам pH равен $14 - 2 = 12$.
• Теряют квадратный корень. Если записать $[\text{H}^+] = K_a c = 3{,}6 \cdot 10^{-6}$, получится pH 5,44: для 0,2 М кислоты это кислотность дождевой воды.
• Путают десятичный и натуральный логарифм. $\ln 0{,}01 = -4{,}61$, и получается мнимый pH 4,61. На калькуляторе нужна клавиша log, а не ln.
• Пользуются приближением без проверки. Для разбавленных растворов и кислот средней силы вроде HF или $\text{HNO}_2$ доля распада превышает 5 %, и считать нужно через квадратное уравнение.

FAQ

Как найти pH, если известна концентрация ионов водорода? Взять десятичный логарифм концентрации и сменить знак: $\mathrm{pH} = -\lg [\text{H}^+]$. Для $[\text{H}^+] = 3 \cdot 10^{-4}$ моль/л получается $\mathrm{pH} = 4 - \lg 3 = 3{,}52$.

Как по pH найти концентрацию ионов водорода? Обратной операцией: $[\text{H}^+] = 10^{-\mathrm{pH}}$. Для pH 2,72 это $10^{-2{,}72} = 1{,}9 \cdot 10^{-3}$ моль/л, та же величина, что в разобранной задаче. Концентрацию гидроксид-ионов затем находят как $10^{-(14 - \mathrm{pH})}$. На практике pH измеряют прибором со стеклянным электродом.

Может ли pH быть меньше 0 или больше 14? Может. У 2 М соляной кислоты формально получается pH около $-0{,}30$. Но при таких концентрациях ионы сильно взаимодействуют, и расчёт через молярность даёт лишь оценку; точно считают через активности.

Почему pH раствора HCl с концентрацией $10^{-8}$ моль/л не равен 8? Раствор кислоты не может быть щелочным. При такой ничтожной концентрации основную часть ионов водорода даёт сама вода, около $10^{-7}$ моль/л. Точный расчёт с учётом автопротолиза даёт pH 6,98, чуть кислее нейтральной воды.

Коротко

1. Определи тип электролита: сильная кислота или щёлочь либо слабая, для которой дана $K_a$ или $K_b$.
2. Для сильных: $[\text{H}^+] = n c$ или $[\text{OH}^-] = n c$, где $n$ число ионов в формуле; для щёлочи $\mathrm{pH} = 14 - \mathrm{pOH}$.
3. Для слабых: $[\text{H}^+] \approx \sqrt{K_a c}$ с проверкой, что доля распада меньше 5 %, иначе квадратное уравнение; основание считают так же через $K_b$ и pOH.
4. $\mathrm{pH} = -\lg [\text{H}^+]$, и каждая единица pH означает десятикратное изменение концентрации ионов водорода.
5. В задаче: pH 2,00 у 0,01 М HCl, 12,00 у 0,005 М $\text{Ba(OH)}_2$ и 2,72 у 0,2 М уксусной кислоты, которая менее кислая, потому что распадается лишь на 0,95 %.