Барометрическая формула: вывод и физический смысл

Барометрическая формула связывает давление атмосферы с высотой над уровнем моря: чем выше, тем разреженнее воздух и тем меньше давление, причём падение идёт не линейно, а по экспоненте. Вывод формулы опирается всего на два факта - основное уравнение гидростатики (вес вышележащего столба газа давит на нижний слой) и уравнение состояния идеального газа, связывающее плотность с давлением и температурой. Ниже разберём вывод по шагам, физический смысл экспоненты и типичные ошибки в задачах. Чтобы сразу увидеть, как температура и сорт газа меняют скорость падения давления, покрути калькулятор ниже - он строит профиль давления и сравнивает шкалу высот для разных газов, а дальше разберём формулу строго.

Постановка задачи: столб газа в поле тяжести

Рассмотрим вертикальный столб газа (например, атмосферу Земли) в поле тяжести с ускорением свободного падения $g$. Будем считать температуру постоянной по высоте - это упрощение называется изотермической моделью атмосферы, и именно для неё формула выводится в элементарном курсе. Выделим тонкий горизонтальный слой газа толщиной $dh$ на высоте $h$: снизу на него давит газ с давлением $p(h)$, сверху - газ с чуть меньшим давлением $p(h) + dp$ (где $dp < 0$, так как давление убывает с высотой).

Рассчитать для своей задачи

Разность давлений снизу и сверху слоя уравновешивает вес самого слоя (условие механического равновесия столба, который никуда не движется):

$-dp = \rho g\, dh,$

где $\rho$ - плотность газа на высоте $h$, а знак минус отражает, что при росте $h$ давление убывает. Это и есть основное уравнение гидростатики для сжимаемой среды - оно отличается от простого $p = \rho g h$ тем, что $\rho$ здесь не постоянна, а сама зависит от давления.

Подключаем уравнение состояния идеального газа

Чтобы связать плотность $\rho$ с давлением, используем уравнение Менделеева-Клапейрона для массы газа $m$, занимающей объём $V$:

$pV = \frac{m}{M} R T \quad\Rightarrow\quad p = \frac{m}{V}\cdot\frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M},$

где $M$ - молярная масса газа, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - абсолютная температура. Отсюда плотность выражается через давление:

$\rho = \frac{pM}{RT}.$

Подставляем это выражение в уравнение гидростатики:

$-dp = \frac{pM}{RT}\, g\, dh \quad\Rightarrow\quad \frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT}\, dh.$

Получилось дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными: относительное изменение давления $dp/p$ прямо пропорционально приращению высоты $dh$ с отрицательным коэффициентом.

Интегрирование и вывод барометрической формулы

Интегрируем обе части от нуля (уровень отсчёта, где давление равно $p_0$) до текущей высоты $h$ с давлением $p$:

$$\begin{aligned} \int_{p_0}^{p} \frac{dp'}{p'} &= -\frac{Mg}{RT}\int_0^h dh', \\ \ln\frac{p}{p_0} &= -\frac{Mg}{RT}\,h. \end{aligned}$$

Потенцируя (то есть избавляясь от логарифма через экспоненту), получаем саму барометрическую формулу:

$p(h) = p_0 \, e^{-\frac{Mgh}{RT}}.$

Величину $H = RT/(Mg)$ называют шкалой высот: это высота, на которой давление падает ровно в $e \approx 2{,}72$ раза относительно $p_0$. Через неё формулу удобно переписывать компактно как $p(h) = p_0 e^{-h/H}$.

Рассчитать для своей задачи

Молекулярный смысл: распределение Больцмана

Ту же формулу можно получить и по-другому - через распределение Больцмана для концентрации молекул $n$ в поле потенциальной энергии $U = mgh$ (здесь $m$ - масса одной молекулы):

$n(h) = n_0\, e^{-\frac{mgh}{kT}},$

где $k$ - постоянная Больцмана. Поскольку давление идеального газа $p = nkT$, а температура постоянна, зависимость $p(h)$ повторяет зависимость $n(h)$ один в один - оба выражения совпадают, если учесть, что $M = m N_A$ и $R = k N_A$ ($N_A$ - число Авогадро). Это показывает, что барометрическая формула - лишь макроскопическая запись микроскопического закона убывания концентрации частиц с высотой в поле тяжести.

Как молярная масса и температура меняют профиль

Шкала высот $H = RT/(Mg)$ растёт с температурой и падает с молярной массой газа. Поэтому в одной и той же атмосфере лёгкие газы (водород, гелий) распределены по гораздо большей высоте, чем тяжёлые (углекислый газ) - при одинаковой температуре их концентрация убывает медленнее. Именно поэтому в верхних, разреженных слоях атмосферы Земли относительная доля лёгких газов выше, чем у поверхности - более тяжёлые компоненты «прижаты» к земле сильнее.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения типовой задачи

Найдём атмосферное давление на высоте $h = 3000$ м, если у поверхности $p_0 = 101325$ Па, а температура воздуха $T = 280$ К (молярная масса воздуха $M = 0{,}029$ кг/моль, $R = 8{,}314$ Дж/(моль·К), $g = 9{,}8$ м/с²).

Сначала находим шкалу высот:

$H = \frac{RT}{Mg} = \frac{8{,}314 \cdot 280}{0{,}029 \cdot 9{,}8} \approx 8191\ \text{м} \approx 8{,}19\ \text{км}.$

Подставляем в барометрическую формулу:

$p(3000) = p_0\, e^{-h/H} = 101325 \cdot e^{-3000/8191} \approx 101325 \cdot 0{,}693 \approx 70\,250\ \text{Па} \approx 70{,}3\ \text{кПа}.$

То есть на высоте 3 км давление составляет около 69% от давления у поверхности - это согласуется с реальными данными для средней атмосферы (на высоте Эльбруса, например, давление действительно падает примерно до двух третей от нормального).

Границы применимости формулы

Барометрическая формула в приведённом виде верна только для изотермической атмосферы - реальная температура воздуха убывает с высотой в тропосфере примерно на 6,5 градуса на километр, поэтому точный расчёт требует учитывать это изменение (полная барометрическая формула для неоднородной по температуре атмосферы сложнее и выводится через уравнение состояния статической атмосферы с переменной $T(h)$). Также формула предполагает $g = \text{const}$, что справедливо только для высот, малых по сравнению с радиусом Земли (до нескольких десятков километров). Несмотря на упрощения, изотермическая модель остаётся стандартным первым приближением в курсе молекулярной физики и хорошо описывает нижние слои атмосферы на масштабах в единицы километров.

Частые ошибки

• Подстановка температуры в градусах Цельсия. В показателе экспоненты должна стоять абсолютная температура в кельвинах: $T_K = t_{\text{°C}} + 273{,}15$. Ошибка на 273 градуса при малых $T$ радикально меняет ответ.
• Путаница молярной и молекулярной массы. В формуле с $R$ и $M$ стоит молярная масса (кг/моль), а в формуле с $k$ и $m$ - масса одной молекулы (кг). Смешивать их в одной формуле нельзя.
• Забытый знак минус в показателе. Давление убывает с высотой, поэтому показатель экспоненты обязан быть отрицательным; положительный показатель даёт растущее давление, что физически бессмысленно.
• Игнорирование зависимости от температуры атмосферы. Шкала высот $H$ сильно меняется с $T$: при понижении температуры атмосфера «сжимается», и то же давление достигается на меньшей высоте.
• Применение формулы на больших высотах. На высотах в сотни километров $g$ уже нельзя считать постоянным, а изотермическое приближение перестаёт быть разумным.

FAQ

Как вывести барометрическую формулу? Из условия механического равновесия тонкого слоя газа ($-dp = \rho g\,dh$) и уравнения состояния идеального газа ($\rho = pM/(RT)$) получают дифференциальное уравнение $dp/p = -(Mg/RT)\,dh$, интегрирование которого даёт $p(h) = p_0 e^{-Mgh/RT}$.

Что такое шкала высот в барометрической формуле? Это величина $H = RT/(Mg)$ - высота, на которой давление падает в $e \approx 2{,}72$ раза. Для воздуха при комнатной температуре она составляет около 8-8,5 км.

Зависит ли барометрическая формула от рода газа? Да, через молярную массу $M$: чем тяжелее газ, тем меньше шкала высот $H$ и тем быстрее падает его давление (концентрация) с высотой при той же температуре.

Коротко

Барометрическая формула $p(h) = p_0 e^{-Mgh/RT}$ выводится из уравнения гидростатики для тонкого слоя газа и уравнения состояния идеального газа; она описывает изотермическую атмосферу, в которой давление и концентрация молекул убывают с высотой по экспоненте. Скорость убывания задаёт шкала высот $H = RT/(Mg)$: чем выше температура и легче газ, тем медленнее падает давление. Формула - частный случай распределения Больцмана и остаётся рабочим приближением для нижних слоёв атмосферы.