Инверсная населённость в лазере: условие и формула

Инверсная населённость (инверсия населённостей) - это состояние вещества, при котором на верхнем энергетическом уровне атомов или молекул оказывается больше частиц, чем на нижнем, хотя в тепловом равновесии всё устроено ровно наоборот. Именно инверсия делает возможным вынужденное излучение, усиливающее свет, а не поглощающее его, - без неё лазер работать не может. Ниже разберём, почему обычное вещество никогда не создаёт инверсию само по себе, как трёх- и четырёхуровневая схема накачки решают эту проблему, откуда берётся формула порогового условия генерации и почему выше порога инверсия перестаёт расти. Чтобы сразу увидеть, как накачка, потери резонатора и время жизни уровня формируют порог и выходную мощность, покрути калькулятор ниже - он показывает инверсию и мощность лазера сразу на двух связанных графиках.

Почему в равновесии инверсии не бывает

Населённости двух энергетических уровней $E_1$ и $E_2$ ($E_2 > E_1$) в тепловом равновесии при температуре $T$ связаны распределением Больцмана:

$\frac{N_2}{N_1} = \exp\left(-\frac{E_2 - E_1}{kT}\right),$

где $k$ - постоянная Больцмана. Поскольку показатель экспоненты всегда отрицателен, отношение $N_2/N_1$ строго меньше единицы при любой конечной температуре: верхний уровень всегда населён слабее нижнего. Это означает, что падающий на вещество свет частоты, соответствующей переходу $E_1 \to E_2$, поглощается сильнее, чем усиливается, - обычная среда работает как фильтр, а не как усилитель. Чтобы получить обратную картину, нужно искусственно «перегреть» именно этот переход, не трогая остальные, - формально это соответствует отрицательной температуре перехода, хотя физически речь идёт о неравновесном состоянии, поддерживаемом внешней накачкой.

Трёх- и четырёхуровневая схема накачки

Прямая накачка двух уровней (двухуровневая схема) не создаёт устойчивой инверсии: на пороге равных населённостей поглощение и вынужденное излучение уравновешивают друг друга, и дальше система не идёт, сколько бы энергии ни подавалось. Рабочую инверсию дают три- или четырёхуровневые схемы:

Рассчитать для своей задачи

В четырёхуровневой схеме нижний лазерный уровень $E_1$ лежит выше основного состояния $E_0$ и опустошается почти мгновенно, поэтому его населённость всегда близка к нулю: инверсия $\Delta N = N_2 - N_1 \approx N_2$ возникает уже при слабой накачке. В трёхуровневой схеме (классический пример - рубиновый лазер) нижним лазерным уровнем служит само основное состояние, поэтому для инверсии нужно перевести на верхний уровень больше половины всех атомов - порог накачки получается значительно выше. Ключевую роль в обеих схемах играет метастабильность верхнего лазерного уровня: время жизни $\tau$ на нём должно быть намного больше, чем на промежуточном уровне $E_3$, иначе атомы не успевают накопиться.

Пороговое условие генерации

Одной инверсии мало - резонатор лазера всегда что-то теряет: часть света уходит через выходное зеркало, часть рассеивается на неоднородностях. Чтобы генерация вообще началась, усиление за проход должно перекрывать эти потери. Коэффициент усиления среды линейно зависит от инверсии населённостей:

$g = \sigma \, \Delta N,$

где $\sigma$ - сечение вынужденного перехода (зависит только от материала активной среды). За полный проход резонатора длиной $L$ туда и обратно, с зеркалами отражением $R_1$ и $R_2$, интенсивность должна вернуться к исходному значению на пороге:

$R_1 R_2 \, e^{2 g_{th} L} = 1.$

Отсюда получаем пороговый коэффициент усиления и пороговую инверсию населённостей:

$g_{th} = \frac{-\ln(R_1 R_2)}{2L}, \qquad \Delta N_{th} = \frac{g_{th}}{\sigma}.$

Рассчитать для своей задачи

Чем длиннее активная среда и чем меньше потери на зеркалах (то есть чем ближе $R_1 R_2$ к единице), тем ниже порог: логарифм в числителе стремится к нулю, а знаменатель растёт. Именно поэтому лазеры с высокодобротным резонатором (оба зеркала почти полностью отражающие) генерируют при значительно меньшей инверсии, чем лазеры с сильным выводом излучения.

Порог по накачке и защёлкивание усиления

Пороговую инверсию удобно перевести в пороговую скорость накачки $R_{th}$ - количество атомов, забрасываемых на верхний уровень в единицу времени в единице объёма. Ниже порога, пока генерации ещё нет, стационарная инверсия просто пропорциональна накачке и времени жизни верхнего уровня:

$\Delta N = R_p \, \tau, \qquad R_{th} = \frac{\Delta N_{th}}{\tau}.$

Рассчитать для своей задачи

Как только накачка превышает $R_{th}$, в резонаторе появляется достаточно фотонов, чтобы вынужденное излучение начало убирать лишние атомы с верхнего уровня быстрее, чем их туда доставляет накачка. В результате инверсия перестаёт расти и «защёлкивается» на пороговом значении $\Delta N_{th}$ - эффект называется gain clamping (защёлкивание усиления). Это принципиальный момент: выше порога добавление энергии накачки уже не увеличивает усиление среды, оно целиком превращается в дополнительные фотоны, покидающие резонатор.

Выходная мощность выше порога

Раз вся избыточная накачка $(R_p - R_{th})$ выше порога идёт в стимулированные фотоны, выходная мощность лазера растёт линейно с превышением накачки над порогом:

$P_{out} = \kappa \, (R_p - R_{th}), \qquad \kappa = \frac{1 - R_2}{-\ln(R_1 R_2)},$

где $\kappa$ - доля потерь резонатора, приходящаяся именно на полезный вывод через частично прозрачное зеркало $R_2$ (а не на паразитное рассеяние). Эта зависимость и есть характерная ватт-амперная (в оптике - «L-I») кривая лазера: до порога на выходе почти ничего нет, кроме слабой спонтанной люминесценции, а после порога мощность растёт практически по прямой. Наклон этой прямой определяет дифференциальную эффективность лазера - чем больше доля полезного вывода $\kappa$, тем круче растёт мощность на каждый лишний квант накачки.

Пример решения типовой задачи

Возьмём типичные параметры твердотельного лазера на кристалле неодимового граната: длина активной среды $L = 5$ см, сечение вынужденного перехода $\sigma = 2{,}8 \cdot 10^{-19}$ см², время жизни верхнего уровня $\tau = 230$ мкс, глухое зеркало $R_1 = 99{,}9\%$, выходное зеркало $R_2 = 90\%$.

Сначала находим суммарные потери резонатора и пороговый коэффициент усиления:

$-\ln(R_1 R_2) = -\ln(0{,}999 \cdot 0{,}9) \approx 0{,}1065, \qquad g_{th} = \frac{0{,}1065}{2 \cdot 5} \approx 0{,}01065 \text{ см}^{-1}.$

Далее пороговая инверсия и пороговая скорость накачки:

$\Delta N_{th} = \frac{0{,}01065}{2{,}8\cdot10^{-19}} \approx 3{,}80\cdot10^{16} \text{ см}^{-3}, \qquad R_{th} = \frac{3{,}80\cdot10^{16}}{230\cdot10^{-6}} \approx 1{,}65\cdot10^{20} \text{ см}^{-3}\text{с}^{-1}.$

Если реальная накачка вдвое превышает пороговую, $R_p \approx 3{,}30\cdot10^{20}$ см⁻³с⁻¹, инверсия остаётся защёлкнутой на уровне $\Delta N_{th}$, а относительная выходная мощность составит $P_{out} = \kappa (R_p - R_{th}) \approx 0{,}939 \cdot 1{,}65\cdot10^{20} \approx 1{,}55\cdot10^{20}$ в тех же единицах, что и накачка. Все эти шаги калькулятор выше повторяет мгновенно при изменении любого параметра.

Частые ошибки

• Считать, что инверсия растёт неограниченно с накачкой. Выше порога она защёлкивается на $\Delta N_{th}$ - дальнейший рост накачки увеличивает только выходную мощность, а не инверсию.
• Путать пороговую инверсию с полной населённостью верхнего уровня. $\Delta N_{th}$ - это разность $N_2 - N_1$ (или просто $N_2$ в четырёхуровневой схеме), а не абсолютное число частиц в системе.
• Забывать про безызлучательный сброс нижнего уровня. Если $E_1$ опустошается недостаточно быстро, населённость там накапливается, инверсия падает, и формула $\Delta N \approx N_2$ перестаёт работать даже в номинально четырёхуровневой схеме.
• Игнорировать внутренние потери резонатора. Реальный порог обычно выше расчётного по одним лишь зеркалам, потому что часть потерь уходит на рассеяние и дифракцию, а не на полезный вывод.
• Путать сечение перехода с коэффициентом усиления. $\sigma$ - свойство материала и перехода, $g = \sigma \Delta N$ зависит ещё и от накачки; смешение этих величин даёт на порядки неверные оценки порога.

FAQ

Почему инверсия населённостей невозможна в тепловом равновесии? Потому что распределение Больцмана $N_2/N_1 = \exp(-(E_2-E_1)/kT)$ при любой положительной температуре даёт отношение меньше единицы: верхний уровень населён слабее нижнего. Инверсию создаёт только внешняя накачка, выводящая систему из равновесия.

Чем четырёхуровневая схема лучше трёхуровневой? В четырёхуровневой схеме нижний лазерный уровень не совпадает с основным состоянием и опустошается почти мгновенно, поэтому инверсия возникает уже при слабой накачке. В трёхуровневой схеме нижним уровнем служит основное состояние, и для инверсии нужно перевести на верхний уровень больше половины всех атомов - порог намного выше.

Что означает защёлкивание усиления (gain clamping)? Выше порога генерации инверсия перестаёт расти и фиксируется на пороговом значении $\Delta N_{th}$, а весь избыток накачки превращается в дополнительную выходную мощность лазера - рост мощности с накачкой становится линейным.

Коротко

Инверсия населённостей - это состояние, при котором верхний энергетический уровень населён сильнее нижнего, что невозможно в тепловом равновесии и достигается только накачкой через мета­стабильный уровень трёх- или четырёхуровневой схемы. Порог генерации задаётся условием $g_{th} = -\ln(R_1 R_2)/(2L)$, откуда пороговая инверсия $\Delta N_{th} = g_{th}/\sigma$ и пороговая накачка $R_{th} = \Delta N_{th}/\tau$. Ниже порога инверсия растёт линейно с накачкой, выше порога она защёлкивается на $\Delta N_{th}$, а вся избыточная энергия накачки идёт в линейно растущую выходную мощность лазера.