Кратность пускового тока асинхронного двигателя: формула

При включении асинхронного двигателя в сеть ток в первые секунды пуска в несколько раз превышает номинальный рабочий ток - именно это отношение и называют кратностью пускового тока. Для проектировщика электропривода это не абстрактная величина: от неё зависит выбор автоматов защиты, сечение кабеля и то, просядет ли напряжение в сети настолько, что погаснет свет у соседей по щиту. Разберём, откуда берётся эта кратность, как вывести её через параметры схемы замещения двигателя и как её снижают на практике. Чтобы сразу увидеть, как кратность зависит от параметров обмоток и скольжения, покрутите калькулятор ниже - он строит график тока статора и показывает, что даёт переход на пониженное напряжение пуска.

Почему пусковой ток выше номинального

В момент пуска ротор асинхронного двигателя неподвижен, поэтому скольжение $s = 1$. Вращающееся магнитное поле статора пересекает проводники ротора с максимальной относительной скоростью, наводя в них ЭДС и токи, близкие по картине к режиму короткого замыкания трансформатора: обмотка ротора почти не создаёт противодействующего вращающего момента, зато потребляет значительный ток. По мере разгона скольжение уменьшается, относительная скорость поля и ротора падает, наведённая ЭДС и ток ротора снижаются, а вместе с ними снижается и ток статора. В номинальном режиме скольжение обычно составляет 1-8%, и ток успевает упасть в несколько раз по сравнению с пусковым значением. Именно это отношение токов на двух крайних точках - при $s=1$ и при номинальном скольжении - и называется кратностью пускового тока.

Формула кратности через схему замещения

Чтобы получить формулу количественно, удобно пользоваться упрощённой Г-образной схемой замещения двигателя (без ветви намагничивания - для оценки тока статора эта ветвь второстепенна). Ток фазы статора как функция скольжения:

$I(s) = \frac{U_1}{\sqrt{\left(R_1 + \dfrac{R_2'}{s}\right)^2 + (X_1+X_2')^2}},$

где $U_1$ - фазное напряжение статора, $R_1$ и $X_1$ - активное и индуктивное сопротивления обмотки статора, $R_2'$ и $X_2'$ - приведённые к статору сопротивления ротора. При пуске $s=1$ слагаемое $R_2'/s$ минимально, значит импеданс схемы близок к сопротивлению короткого замыкания $Z_{кз} = \sqrt{(R_1+R_2')^2+(X_1+X_2')^2}$, и ток максимален:

$I_п = I(1) = \frac{U_1}{Z_{кз}}.$

Рассчитать для своей задачи

В рабочей точке скольжение $s_{ном}$ мало, поэтому $R_2'/s_{ном}$ становится значительно больше $R_1$, импеданс растёт, и ток снижается до номинального значения $I_{ном} = I(s_{ном})$. Кратность пускового тока - это просто отношение двух значений одной и той же функции $I(s)$ на разных скольжениях:

$k_I = \frac{I_п}{I_{ном}} = \frac{I(1)}{I(s_{ном})}.$

Для типового двигателя (например, $R_1=0{,}5$ Ом, $X_1=1{,}0$ Ом, $R_2'=0{,}5$ Ом, $X_2'=1{,}0$ Ом, $U_1=220$ В, $s_{ном}=0{,}04$) расчёт даёт $I_п \approx 98{,}4$ А, $I_{ном}\approx 16{,}7$ А и $k_I \approx 5{,}9$ - величина в самой обычной для асинхронных машин зоне.

Типовые значения кратности

Кратность пускового тока - паспортная характеристика двигателя, её приводят в каталоге вместе с кратностью пускового момента. Для большинства асинхронных двигателей с короткозамкнутым ротором общепромышленного исполнения $k_I$ лежит в диапазоне 5-7,5, у отдельных серий доходит до 8. Чем меньше активное сопротивление ротора относительно индуктивного (глубокий паз, двойная беличья клетка), тем ближе кратность к нижней границе этого диапазона - именно так конструкторы специально «размазывают» ток при пуске, не жертвуя рабочими характеристиками. У двигателей с фазным ротором кратность заметно ниже: в цепь ротора можно ввести пусковой реостат, который увеличивает эффективное $R_2'$ на время разгона и тем самым снижает пусковой ток при том же напряжении.

Эта величина напрямую влияет на выбор аппаратов защиты и проводки. Автоматический выключатель или предохранитель должен пропускать бросок пускового тока, не срабатывая ложно, но при этом надёжно отключать двигатель при реальном коротком замыкании или затяжном заклинивании вала. Поэтому при подборе защиты кратность пускового тока закладывают в расчёт времятоковой характеристики автомата, а сечение питающего кабеля проверяют не только на номинальный, но и на кратковременный пусковой ток - в момент пуска на нём падает заметно большее напряжение, что может «сажать» уровень в соседних цепях того же щита.

Способы снижения пускового тока

Если сеть или трансформатор не выдерживают прямого пуска, применяют пуск на пониженном напряжении. Поскольку ток при фиксированном скольжении пропорционален напряжению линейно (см. формулу $I(s)$ выше - импеданс от напряжения не зависит), при подаче на статор напряжения $U' = \alpha U_1$ пусковой ток снижается ровно во столько же раз:

$I_п' = \alpha\, I_п, \qquad k_I' = \alpha\, k_I.$

Рассчитать для своей задачи

Самый распространённый вариант - переключение обмоток статора со звезды на треугольник: на время пуска фазное напряжение на обмотке снижается в $\sqrt{3}$ раз, то есть $\alpha = 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577$. Автотрансформаторный пуск и пуск через реактор позволяют выбрать коэффициент $\alpha$ более гибко (типично 0,65-0,8), подбирая компромисс между снижением тока и запасом пускового момента. Здесь важно не забывать вторую часть формулы: вращающий момент двигателя пропорционален квадрату напряжения, поэтому

$M_п' = \alpha^2\, M_п,$

и при переходе звезда-треугольник момент падает втрое - двигатель может не тронуть тяжело нагруженный механизм, даже если по току всё в порядке. Поэтому выбор способа пуска - это всегда компромисс между снижением тока и достаточным запасом момента для конкретной нагрузки.

Пример решения типовой задачи

Пусть двигателю нужно рассчитать кратность пускового тока по паспортным данным: номинальный ток $I_{ном} = 16{,}7$ А, пусковой ток при прямом пуске $I_п = 98{,}4$ А. Кратность находится прямым делением:

$k_I = \frac{I_п}{I_{ном}} = \frac{98{,}4}{16{,}7} \approx 5{,}9.$

Теперь оценим, что даст пуск по схеме звезда-треугольник. Коэффициент снижения напряжения $\alpha = 1/\sqrt{3} \approx 0{,}577$, поэтому пусковой ток снизится линейно:

$I_п' = \alpha\, I_п \approx 0{,}577 \cdot 98{,}4 \approx 56{,}8\ \text{А}, \qquad k_I' \approx 0{,}577 \cdot 5{,}9 \approx 3{,}4.$

А вот пусковой момент упадёт значительно сильнее, ведь он зависит от напряжения квадратично:

$M_п' = \alpha^2\, M_п = \frac{1}{3}\, M_п \approx 0{,}33\, M_п.$

Если исходный момент был близок к номинальному, после перехода на звезду он может оказаться недостаточным для разгона под нагрузкой - это стоит проверить отдельно, прежде чем менять схему пуска.

Частые ошибки

• Путают кратность тока и кратность момента. Это разные паспортные величины: ток снижается при пониженном напряжении линейно, а момент - квадратично. Нельзя применить одну формулу к другой характеристике.
• Забывают перевести проценты скольжения в доли. В формуле $I(s)$ скольжение подставляется как доля единицы ($s_{ном}=0{,}04$), а не как проценты (4).
• Считают кратность тока константой двигателя независимо от способа пуска. Паспортное значение $k_I$ относится к прямому пуску при полном номинальном напряжении; при пониженном напряжении реальная кратность (относительно сети) меньше.
• Путают фазное и линейное напряжение при подстановке $U_1$ в формулу схемы замещения - для схемы звезда нужно именно фазное значение.
• Игнорируют момент нагрузки при выборе способа пуска. Даже если ток укладывается в допустимые пределы, сниженный вчетверо-втрое момент может не позволить механизму тронуться с места.

FAQ

Чему равна типичная кратность пускового тока асинхронного двигателя? Для большинства короткозамкнутых асинхронных двигателей общепромышленного исполнения кратность пускового тока лежит в диапазоне 5-7,5 (у отдельных серий - до 8). Точное значение указывается в каталоге на конкретный типоразмер.

Как кратность пускового тока связана с кратностью пускового момента? Напрямую не связана единой формулой - это две независимые паспортные характеристики. Обе меняются при пуске на пониженном напряжении, но по-разному: ток пропорционален напряжению линейно, момент - квадрату напряжения.

Почему пуск по схеме звезда-треугольник снижает пусковой ток именно в 1,73 раза? Потому что при переключении со звезды на треугольник фазное напряжение на каждой обмотке статора меняется в $\sqrt{3}\approx 1{,}73$ раза, а ток при неизменном импедансе схемы пропорционален напряжению.

Нужно ли учитывать кратность пускового тока при выборе автомата защиты? Да. Время-токовая характеристика автомата подбирается так, чтобы он выдерживал кратковременный бросок пускового тока (кратность 5-7,5 от номинала на доли секунды) без ложного срабатывания, но отключал двигатель при затяжной перегрузке или коротком замыкании. Сечение подводящего кабеля также проверяют на пусковой, а не только на номинальный ток.

Коротко

Кратность пускового тока $k_I = I_п/I_{ном}$ показывает, во сколько раз ток при неподвижном роторе ($s=1$) больше номинального рабочего тока, и для большинства асинхронных двигателей лежит в диапазоне 5-7,5. Формула выводится из тока фазы статора $I(s) = U_1/\sqrt{(R_1+R_2'/s)^2+(X_1+X_2')^2}$ по упрощённой схеме замещения. Пуск на пониженном напряжении (звезда-треугольник, автотрансформатор, реактор) снижает ток линейно относительно коэффициента снижения напряжения, но снижает пусковой момент квадратично - поэтому выбор способа пуска всегда завязан на допустимый ток сети и достаточный момент для конкретной нагрузки.