Метод комплексных амплитуд: расчёт цепи переменного тока

Расчёт цепи переменного тока напрямую через дифференциальные уравнения быстро превращается в громоздкую алгебру с синусами и косинусами. Метод комплексных амплитуд решает эту проблему одним приёмом: каждая синусоидальная величина заменяется комплексным числом, дифференцирование превращается в умножение, а дифференциальное уравнение цепи - в обычную алгебраическую систему. Дальше с цепью переменного тока работают так же, как с цепью постоянного тока, только вместо действительных сопротивлений - комплексные. Ниже разберём, откуда берётся комплексная амплитуда, почему производная превращается в множитель $j\omega$, как записать закон Ома и правила Кирхгофа в комплексной форме и как обратно получить мгновенные значения тока и напряжения. Чтобы сразу увидеть, как векторная диаграмма связана с реальными колебаниями, покрути калькулятор ниже: он одновременно рисует диаграмму фазоров и график мгновенных значений.

Что такое комплексная амплитуда

Пусть в цепи есть гармоническое напряжение $u(t) = U_m\cos(\omega t + \psi)$, где $U_m$ - амплитуда, $\omega$ - угловая частота, $\psi$ - начальная фаза. По формуле Эйлера это выражение можно записать как действительную часть вращающегося комплексного вектора:

$u(t) = U_m\cos(\omega t + \psi) = \operatorname{Re}\!\left[ U_m e^{j\psi} e^{j\omega t} \right].$

Множитель $U_m e^{j\psi}$ не зависит от времени - в нём "спрятаны" и амплитуда, и начальная фаза. Именно его называют комплексной амплитудой и обозначают $\dot U_m$. Тогда мгновенное значение записывается компактно:

$u(t) = \operatorname{Re}\!\left[ \dot U_m\, e^{j\omega t} \right], \qquad \dot U_m = U_m e^{j\psi} = U_m\cos\psi + jU_m\sin\psi.$

Комплексная амплитуда - это не абстракция ради абстракции: на комплексной плоскости она изображается вектором (фазором) длиной $U_m$ под углом $\psi$ к действительной оси. Вся дальнейшая цепь рассуждений строится на одном факте: если два фазора вращаются с одинаковой угловой частотой $\omega$, то их сумма, разность и отношение подчиняются обычной комплексной алгебре, а частота $\omega$ в вычислениях вообще не участвует - она общая для всей цепи и добавляется только в самом конце.

Почему производная превращается в умножение на jω

Ключевое свойство метода - то, что происходит с производной по времени. Возьмём производную от вращающегося фазора:

$\frac{d}{dt}\left[ \dot X_m e^{j\omega t} \right] = j\omega\, \dot X_m e^{j\omega t}.$

Дифференцирование по времени в комплексной форме - это просто умножение комплексной амплитуды на $j\omega$. Точно так же интегрирование соответствует делению на $j\omega$. Это превращает дифференциальное уравнение цепи в алгебраическое: например, уравнение катушки $u_L = L\,di/dt$ в комплексной форме становится $\dot U_{Lm} = j\omega L\, \dot I_m$, а уравнение конденсатора $i_C = C\,du_C/dt$ - в $\dot I_m = j\omega C\, \dot U_{Cm}$, откуда $\dot U_{Cm} = \dot I_m/(j\omega C)$. Реактивные элементы получают свои "комплексные сопротивления" $j\omega L$ и $1/(j\omega C)$ автоматически, без интегро-дифференциальных выкладок.

Рассчитать для своей задачи

Уравнение цепи в комплексной форме

Возьмём последовательную RLC-цепь с источником $u(t) = U_m\cos(\omega t)$. Второй закон Кирхгофа для мгновенных значений даёт интегро-дифференциальное уравнение:

$u = iR + L\frac{di}{dt} + \frac{1}{C}\int i\,dt.$

Заменив каждую мгновенную величину её комплексной амплитудой (производную - на умножение, интеграл - на деление на $j\omega$), получаем алгебраическое уравнение:

$\dot U_m = \dot I_m R + j\omega L\, \dot I_m + \frac{\dot I_m}{j\omega C} = \dot I_m\!\left(R + j\omega L + \frac{1}{j\omega C}\right).$

Выражение в скобках - это комплексное сопротивление цепи $Z = R + jX$, где реактивная часть $X = \omega L - 1/(\omega C)$ складывается из индуктивной и ёмкостной составляющих. Уравнение принимает вид обычного закона Ома для комплексных амплитуд:

$\dot U_m = \dot I_m Z, \qquad Z = R + j\!\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right).$

Отсюда сразу следуют модуль и фаза импеданса, а с ними - амплитуда и фаза тока:

$|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}, \qquad \varphi = \arg Z = \operatorname{arctg}\frac{X}{R}, \qquad I_m = \frac{U_m}{|Z|}.$

Если ток принять опорным фазором (его собственная фаза равна нулю), то напряжение источника оказывается повёрнуто относительно тока ровно на угол $\varphi$: при $X > 0$ (индуктивный характер) ток отстаёт от напряжения, при $X < 0$ (ёмкостный характер) - опережает. Это тот же импеданс, что и в задачах на расчёт полного сопротивления цепи переменного тока, но здесь важен не сам результат, а то, откуда он получился: не из готовой формулы, а прямым переводом дифференциального уравнения в алгебраическое.

Векторная диаграмма токов и напряжений

Так как в последовательной цепи через все элементы течёт один и тот же ток, удобно строить векторную диаграмму, откладывая ток вдоль действительной оси. Тогда три вектора напряжений складываются "голова к хвосту" по правилу параллелограмма:

• $\dot U_R = R\dot I_m$ - совпадает по направлению с током;
• $\dot U_L = j\omega L\, \dot I_m$ - повёрнут на 90° вперёд относительно тока;
• $\dot U_C = \dot I_m/(j\omega C)$ - повёрнут на 90° назад относительно тока.

Их сумма и есть комплексная амплитуда напряжения источника $\dot U_m = \dot U_R + \dot U_L + \dot U_C$, а угол между результирующим вектором и вектором тока - это и есть сдвиг фаз $\varphi$.

Рассчитать для своей задачи

Для цепи с $R = 40$ Ом, $L = 150$ мГн, $C = 30$ мкФ на частоте $f = 50$ Гц (те же параметры, что заданы в калькуляторе по умолчанию) $U_L \approx 66{,}1$ В короче $U_C \approx 148{,}9$ В - значит, цепь ёмкостная, а результирующее напряжение $U_m = 100$ В повёрнуто относительно тока на угол $\varphi \approx -55{,}9°$: ток опережает напряжение источника.

От комплексной амплитуды обратно к мгновенным значениям

Векторная диаграмма выше "заморожена" в один момент времени - в этом и удобство метода: пока идёт расчёт, время как будто не течёт, а частота $\omega$ отложена в сторону. Но физический смысл сохраняется, если вспомнить, что все векторы на самом деле вращаются вместе с одной и той же угловой скоростью $\omega$, не меняя угла друг относительно друга. Чтобы вернуться к реальным колебаниям, нужно взять действительную часть от каждого вращающегося вектора:

$i(t) = \operatorname{Re}\!\left[\dot I_m e^{j\omega t}\right] = I_m\cos(\omega t), \qquad u(t) = \operatorname{Re}\!\left[\dot U_m e^{j\omega t}\right] = U_m\cos(\omega t + \varphi).$

Это ровно то, что показывает правый график калькулятора: горизонтальная ось - это угол поворота $\omega t$ за один период, а точка на кривой в любой момент - проекция соответствующего вращающегося вектора диаграммы. Сдвиг между пиками кривых $u(t)$ и $i(t)$ на графике - это и есть угол $\varphi$ с векторной диаграммы, только выраженный не как угол между векторами, а как горизонтальный сдвиг по времени.

Пример: ток в RLC-цепи методом комплексных амплитуд

Дано: последовательная RLC-цепь с $R = 40$ Ом, $L = 150$ мГн, $C = 30$ мкФ, подключена к источнику $u(t) = 100\cos(\omega t)$ В на частоте $f = 50$ Гц. Найти ток $i(t)$.

Сначала угловая частота и реактивные сопротивления:

$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314{,}2\ \text{рад/с},$

$X_L = \omega L = 314{,}2 \cdot 0{,}15 \approx 47{,}1\ \text{Ом}, \qquad X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{314{,}2 \cdot 30\cdot 10^{-6}} \approx 106{,}1\ \text{Ом}.$

Реактивная часть импеданса $X = X_L - X_C \approx -59{,}0$ Ом (знак минус означает ёмкостный характер), тогда:

$Z = R + jX = 40 - j59{,}0\ \text{Ом}, \qquad |Z| = \sqrt{40^2 + 59{,}0^2} \approx 71{,}3\ \text{Ом}.$

Сдвиг фаз и амплитуда тока получаются напрямую из закона Ома для комплексных амплитуд $\dot I_m = \dot U_m / Z$:

$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{X}{R} = \operatorname{arctg}\frac{-59{,}0}{40} \approx -55{,}9°, \qquad I_m = \frac{U_m}{|Z|} = \frac{100}{71{,}3} \approx 1{,}40\ \text{А}.$

Так как $\varphi$ отрицателен, ток опережает напряжение источника, и итоговое мгновенное значение записывается сразу без возврата к дифференциальному уравнению:

$i(t) \approx 1{,}40\cos(314{,}2\,t + 55{,}9°)\ \text{А}.$

Проверить согласованность легко: напряжения на элементах $U_R = RI_m \approx 56{,}1$ В, $U_L = X_LI_m \approx 66{,}1$ В, $U_C = X_CI_m \approx 148{,}9$ В должны в сумме (как векторы, а не арифметически) давать исходные $100$ В - именно это делает калькулятор выше при любых введённых значениях.

Частые ошибки

• Сложение напряжений на элементах арифметически. $U_R + U_L + U_C \ne U_m$ в обычном смысле - складывать нужно как векторы (комплексные числа), с учётом фазового сдвига 90° у реактивных элементов.
• Путаница знака у $X_C$. Комплексное сопротивление конденсатора равно $1/(j\omega C) = -jX_C$, то есть даёт отрицательную мнимую часть. Забытый минус меняет знак сдвига фаз на противоположный.
• Использование обычной частоты $f$ вместо угловой $\omega$. В формулах метода комплексных амплитуд везде фигурирует $\omega = 2\pi f$, а не $f$ - подстановка $f$ вместо $\omega$ занижает реактивные сопротивления в $2\pi$ раз.
• Забытый переход обратно к мгновенным значениям. Комплексная амплитуда $\dot I_m$ - промежуточный результат; финальный ответ на задачу - это $i(t) = \operatorname{Re}[\dot I_m e^{j\omega t}]$, с явной зависимостью от времени.
• Смешение амплитудных и действующих значений. Если в условии даны действующие (RMS) значения напряжения или тока, амплитуду нужно домножить на $\sqrt{2}$ до перехода к комплексной форме.

FAQ

Чем комплексная амплитуда отличается от обычного комплексного числа? Формально это обычное комплексное число, но по смыслу оно кодирует амплитуду и начальную фазу гармонического колебания. Угловая частота $\omega$ в саму комплексную амплитуду не входит - она общая для всей цепи и добавляется только при обратном переходе к $\operatorname{Re}[\dot X_m e^{j\omega t}]$.

Почему метод комплексных амплитуд работает только для гармонических сигналов? Метод опирается на то, что производная экспоненты $e^{j\omega t}$ снова пропорциональна той же экспоненте - именно это превращает дифференцирование в умножение на $j\omega$. Для негармонических сигналов такого свойства нет, поэтому произвольный сигнал раскладывают в ряд или интеграл Фурье и применяют метод к каждой гармонике отдельно.

Как узнать, отстаёт ток от напряжения или опережает его? По знаку реактивной части импеданса $X = \omega L - 1/(\omega C)$. Если $X > 0$ (индуктивность преобладает), ток отстаёт от напряжения на угол $\varphi = \arg Z$. Если $X < 0$ (ёмкость преобладает), ток опережает напряжение. При $X = 0$ - резонанс, ток и напряжение в фазе.

Коротко

Метод комплексных амплитуд заменяет мгновенные гармонические величины комплексными числами $\dot X_m = X_m e^{j\psi}$, а дифференцирование по времени - умножением на $j\omega$. Это превращает дифференциальное уравнение цепи в алгебраический закон Ома $\dot U_m = \dot I_m Z$ с комплексным сопротивлением $Z = R + jX$. Векторная диаграмма показывает эту алгебру геометрически: напряжения на элементах складываются как векторы, а угол между результирующим напряжением и током равен сдвигу фаз $\varphi$. Обратный переход к мгновенным значениям - это взятие действительной части от произведения комплексной амплитуды на вращающийся множитель $e^{j\omega t}$.