Осцилляции нейтрино: формула вероятности перехода

Осцилляции нейтрино - это квантовый эффект, при котором нейтрино, рождённое в одном аромате (электронном, мюонном или тау), на пути к детектору с некоторой вероятностью превращается в нейтрино другого аромата. Эффект возможен только потому, что у нейтрино есть масса, хотя и очень маленькая, а состояние с определённым ароматом не совпадает с состоянием определённой массы. Ниже разберём, откуда берётся формула вероятности перехода, что такое длина осцилляций и почему экспериментаторы выбирают расстояние до детектора не наугад, а под конкретный максимум этой вероятности. Чтобы сразу увидеть, как параметры связаны друг с другом, покрутите калькулятор ниже - он показывает всю волну вероятности вдоль пути нейтрино.

Что такое осцилляции нейтрино

Нейтрино рождается и регистрируется в так называемом состоянии определённого аромата: электронное $\nu_e$, мюонное $\nu_\mu$ или тау $\nu_\tau$ - именно эти состояния участвуют в слабых взаимодействиях с заряженными лептонами. Но распространяется в пространстве нейтрино не как аромат, а как суперпозиция состояний с определённой массой $\nu_1, \nu_2, \nu_3$. Связь между ароматными и массовыми состояниями задаёт матрица смешивания PMNS (Понтекорво-Маки-Накагавы-Сакаты), в которой угол $\theta$ показывает, насколько сильно два состояния перемешаны.

Пока нейтрино летит, каждое массовое состояние набирает свою фазу, пропорциональную его массе и пройденному расстоянию. Если бы массы $\nu_1$ и $\nu_2$ были одинаковы, фазы совпадали бы всегда, и аромат никогда бы не менялся. Но массы чуть различаются, поэтому фазы медленно расходятся, а состояние, представленное в ароматном базисе, периодически меняет свой состав - вероятность обнаружить исходный аромат то падает, то снова растёт. Это тот же математический механизм, что и в суперпозиции состояний кота Шрёдингера: наблюдаемая величина (аромат) не совпадает с базисом, в котором система эволюционирует по времени (масса), и именно рассогласование базисов рождает нетривиальную динамику.

Формула вероятности для двух ароматов

Строгая формула с тремя ароматами и тремя углами смешивания громоздкая, но в большинстве учебных задач и во многих реальных экспериментах достаточно упрощённой двухфазовой модели: считаем, что смешиваются только два аромата с одним углом $\theta$ и одной разностью квадратов масс $\Delta m^2 = m_2^2 - m_1^2$. Тогда вероятность перехода одного аромата в другой на расстоянии $L$ при энергии нейтрино $E$ равна:

$P(\nu_\alpha \to \nu_\beta) = \sin^2(2\theta)\,\sin^2\!\left(1{,}267\,\frac{\Delta m^2 [\text{эВ}^2]\, L [\text{км}]}{E [\text{ГэВ}]}\right).$

Коэффициент $1{,}267$ - это просто удобная числовая комбинация постоянной Планка и скорости света, если измерять $\Delta m^2$ в квадратных электронвольтах, $L$ в километрах, а $E$ в гигаэлектронвольтах. Множитель $\sin^2(2\theta)$ задаёт потолок амплитуды колебаний - при максимальном смешивании $\theta = 45\,°$ он равен единице, и вероятность перехода может дойти до 100%. Вероятность того, что нейтрино останется в исходном аромате, дополняет переход до единицы:

$P(\nu_\alpha \to \nu_\alpha) = 1 - \sin^2(2\theta)\,\sin^2\!\left(1{,}267\,\frac{\Delta m^2 L}{E}\right).$

Рассчитать для своей задачи

Физически формулу удобно представлять как биения двух почти одинаковых волн: массовые состояния $\nu_1$ и $\nu_2$ распространяются с чуть разными фазовыми скоростями, и их суперпозиция периодически то совпадает по фазе с исходным ароматом, то расходится с ним. Это тот же эффект, что и акустические биения двух близких по частоте камертонов, только роль времени здесь играет пройденное расстояние $L$, а роль разности частот - разность квадратов масс $\Delta m^2$.

Длина осцилляций и как её использовать

Аргумент синуса в формуле растёт линейно с $L$, а сам синус в квадрате периодичен. Полный период по расстоянию - это и есть длина осцилляций:

$L_{osc} = \frac{\pi\, E}{1{,}267\,\Delta m^2}.$

Первый максимум вероятности перехода (когда фаза равна $\pi/2$) достигается на половине этой длины:

$L_{max1} = \frac{L_{osc}}{2} = \frac{\pi\, E}{2{,}534\,\Delta m^2}.$

Рассчитать для своей задачи

Именно поэтому базу пролёта в ускорительных экспериментах не берут произвольной - её подбирают так, чтобы она попадала рядом с первым максимумом $L_{max1}$ при рабочей энергии пучка. Если поставить детектор слишком близко, осцилляции ещё не успеют развиться и эффект останется незаметным на фоне статистических флуктуаций; если слишком далеко - вероятность перехода уже пройдёт через максимум и снова упадёт, а вдобавок поток нейтрино ослабнет из-за геометрического расхождения пучка.

Числовой пример: пучок T2K

Возьмём параметры, близкие к ускорительному эксперименту T2K: угол смешивания $\theta = 45\,°$ (то есть смешивание максимальное, $\sin^2 2\theta = 1$), разность квадратов масс $\Delta m^2 = 2{,}5\times10^{-3}$ эВ², энергия пучка $E = 0{,}6$ ГэВ и база пролёта $L = 295$ км. Сначала находим фазу:

$\varphi = 1{,}267 \cdot \frac{2{,}5\times10^{-3} \cdot 295}{0{,}6} \approx 1{,}557\ \text{рад} \approx 89{,}2\,°.$

Дальше подставляем в формулу вероятности:

$P = \sin^2(90\,°)\cdot\sin^2(89{,}2\,°) \approx 1 \cdot 0{,}9998 \approx 99{,}98\%.$

То есть почти все мюонные нейтрино на этом пути должны были превратиться в другой аромат - вероятность выживания исходного аромата всего около $0{,}02\%$. Проверим длину осцилляций для этих же $E$ и $\Delta m^2$:

$L_{osc} = \frac{\pi \cdot 0{,}6}{1{,}267 \cdot 2{,}5\times10^{-3}} \approx 595\ \text{км}, \qquad L_{max1} \approx 298\ \text{км}.$

Расстояние 295 км, на котором реально стоит детектор эксперимента T2K, почти точно совпадает с расчётным первым максимумом $298$ км - это не случайность, а результат намеренного выбора базы под конкретную энергию пучка, чтобы поймать эффект осцилляций на самом заметном участке кривой.

Три аромата, матрица PMNS и границы упрощения

Реальная картина сложнее двухфазовой модели: у нейтрино три аромата, три массовых состояния и три угла смешивания $\theta_{12}$, $\theta_{23}$, $\theta_{13}$, а полная матрица PMNS ещё содержит фазу, отвечающую за возможное нарушение CP-симметрии в лептонном секторе. Тем не менее двухфазовое приближение работает очень хорошо, если один из двух независимых $\Delta m^2$ («солнечный» $\Delta m^2_{21} \approx 7{,}5\times10^{-5}$ эВ² и «атмосферный» $\Delta m^2_{32} \approx 2{,}5\times10^{-3}$ эВ²) сильно доминирует на масштабе $L/E$ конкретного эксперимента - тогда вклад второго можно на время игнорировать, а смешивание описывать одним эффективным углом. Именно так устроены оценки для ускорительных и атмосферных экспериментов, где доминирует атмосферное расщепление масс, и для солнечных и реакторных - где на первый план выходит солнечное.

Частые ошибки

• Подстановка энергии или расстояния не в тех единицах. Коэффициент $1{,}267$ работает только при $\Delta m^2$ в эВ², $L$ в км и $E$ в ГэВ (либо $L$ в метрах и $E$ в МэВ - отношение то же). Смешение единиц даёт фазу, ошибочную на порядки.
• Путаница между вероятностью перехода и вероятностью выживания. $P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)$ и $P(\nu_\alpha\to\nu_\alpha) = 1 - P(\nu_\alpha\to\nu_\beta)$ - не одно и то же, и в задаче важно понять, что именно спрашивают.
• Игнорирование множителя $\sin^2(2\theta)$. Даже на самом большом максимуме синуса по фазе вероятность перехода не превысит потолок $\sin^2(2\theta)$ - если угол смешивания мал, полного перехода не будет никогда, сколько бы ни было расстояние.
• Расчёт с произвольным $L$ без проверки против $L_{osc}$. Если расстояние на порядок больше длины осцилляций, фаза «оборачивается» много раз, и без явного взятия остатка от деления легко ошибиться в номере периода.
• Смешение атмосферного и солнечного $\Delta m^2$. У них разница почти в 30 раз, и подстановка не того значения меняет результат на порядки - в условии задачи всегда указывают, о каком именно расщеплении идёт речь.

FAQ

Почему осцилляции нейтрино возможны только при ненулевой массе? Формула вероятности перехода зависит от разности квадратов масс $\Delta m^2$. Если бы обе массы были равны нулю или совпадали, разность обратилась бы в ноль, фаза не набегала бы вовсе, а аромат нейтрино оставался бы неизменным на любом расстоянии.

Что произойдёт с вероятностью перехода, если увеличить энергию нейтрино вдвое, не меняя расстояние? Фаза $1{,}267\,\Delta m^2 L / E$ обратно пропорциональна энергии, поэтому при удвоении $E$ фаза уменьшится вдвое, а вероятность перехода изменится - часто заметно упадёт, если исходная фаза была близка к первому максимуму на $\pi/2$.

Можно ли по измеренной вероятности перехода однозначно найти и угол смешивания, и разность квадратов масс из одного эксперимента? Не всегда: один эксперимент с фиксированными $L$ и $E$ даёт только одну точку на кривой, а комбинация $\theta$ и $\Delta m^2$ может давать одинаковую вероятность при разных значениях. Реальные коллаборации комбинируют измерения на разных базах и энергиях, чтобы разделить параметры.

Коротко

Осцилляции нейтрино возникают из-за того, что состояние определённого аромата - это суперпозиция состояний с разными массами, а разность масс заставляет их фазы расходиться по мере распространения. В двухфазовом приближении вероятность перехода описывается формулой $P = \sin^2(2\theta)\sin^2(1{,}267\,\Delta m^2 L/E)$ с потолком $\sin^2(2\theta)$ и периодом по расстоянию $L_{osc} = \pi E/(1{,}267\,\Delta m^2)$. Именно длина осцилляций определяет, на каком расстоянии от источника стоит ставить детектор, чтобы поймать эффект на максимуме, а не в узле волны.