RS-триггер на логических элементах И-НЕ: вывод из формул

RS-триггер на логических элементах И-НЕ обычно объясняют через готовую таблицу переходов: подали такую-то команду, получили такой-то выход. Но саму таблицу можно не запоминать, а вывести - если взять формулу одного элемента И-НЕ и дважды подставить её в перекрёстную схему. У элемента И-НЕ с двумя входами $A$, $B$ выход задаётся простым правилом $Y = \overline{A \cdot B}$: единица только если хотя бы один вход равен нулю. Стоит соединить два таких элемента крест-накрест, выход одного заведя на вход другого, и это же правило, применённое дважды, начинает описывать не мгновенную реакцию, а хранение бита во времени. Ниже разберём именно этот вывод: как из уравнения вентиля получаются установка, сброс, хранение и запрещённое состояние. Чтобы сразу увидеть, как числа подставляются в формулы, поиграйте с калькулятором ниже - он показывает подстановку в оба уравнения на каждом такте.

От одного элемента И-НЕ к схеме с памятью

Возьмите два двухвходовых элемента И-НЕ и соедините их так: выход верхнего (назовём его $Q$) идёт на один из входов нижнего, а выход нижнего ($\overline{Q}$) идёт на один из входов верхнего. Оставшиеся два входа свободны - это входы управления, их обозначают $\overline{S}$ (set, установка) и $\overline{R}$ (reset, сброс). Черта над буквой стоит не для красоты: раз выход элемента И-НЕ равен единице всякий раз, когда на любом входе ноль, управлять схемой нужно именно нулём. Единица на обоих управляющих входах ничего не меняет активно - схема в этом случае замкнута сама на себя.

Формально пара уравнений, которая полностью описывает схему, выглядит так:

$Q = \overline{\overline{S} \cdot \overline{Q}}, \qquad \overline{Q} = \overline{\overline{R} \cdot Q}.$

Это система, где каждое выходное значение входит в правую часть другого уравнения. Именно эта взаимная зависимость и создаёт память: без неё элемент И-НЕ мгновенно и однозначно реагирует на входы, а с перекрёстной связью его выход начинает зависеть ещё и от собственного прошлого значения.

Установка: ноль обнуляет один из множителей

Пусть $\overline{S} = 0$, $\overline{R} = 1$. Подставим в первое уравнение: $Q = \overline{0 \cdot \overline{Q}}$. Одно из двух чисел под чертой - ноль, и по определению И-НЕ произведение с нулём всегда даёт на выходе единицу, независимо от того, чему равен $\overline{Q}$. Получаем $Q = 1$ безусловно, без всякой обратной связи. Теперь подставим это значение во второе уравнение: $\overline{Q} = \overline{1 \cdot 1} = 0$. Оба выхода определились однозначно: $Q = 1$, $\overline{Q} = 0$. Это и есть режим установки - единица на входе $\overline{S}$ буквально "продавливает" единицу на выход, потому что умножение на ноль обнуляет любую неопределённость.

Рассчитать для своей задачи

Сброс: тот же приём для второго вентиля

Симметрично, при $\overline{S} = 1$, $\overline{R} = 0$ безусловно определяется нижнее уравнение: $\overline{Q} = \overline{0 \cdot Q} = 1$ вне зависимости от $Q$. Подставляя это в первое уравнение, получаем $Q = \overline{1 \cdot 1} = 0$. Режим сброса зеркален установке: ноль теперь стоит у нижнего элемента, и именно он диктует свой выход первым, а верхний подстраивается под него.

Хранение: система подтверждает сама себя

При $\overline{S} = \overline{R} = 1$ ни одно уравнение не обнуляется автоматически - оба содержат единицу на управляющем входе, и результат зависит от второго множителя. Здесь подстановка работает по-другому: нужно взять предыдущие значения $Q$ и $\overline{Q}$ и проверить, что они воспроизводят сами себя. Пусть на предыдущем такте было $Q = 1$, $\overline{Q} = 0$. Подставляем: $Q = \overline{1 \cdot 0} = 1$ - совпало с тем, что подставляли. И $\overline{Q} = \overline{1 \cdot 1} = 0$ - тоже совпало. Оба уравнения самосогласованы: они не задают новое значение, а лишь подтверждают старое. Так же сработает и обратная пара $Q = 0$, $\overline{Q} = 1$. Именно эта самосогласованность и есть память: схема хранит одно из двух устойчивых решений системы, а какое именно - определяется её историей, а не текущими входами.

Рассчитать для своей задачи

На схеме хорошо видно, откуда берётся эта петля: линия обратной связи буквально соединяет выход одного корпуса со входом другого. Разорвите любую из двух перекрёстных линий - и уравнения перестанут быть системой, каждый вентиль снова станет считать только по своим свободным входам, а память исчезнет.

Запрещённое состояние: оба уравнения обнуляются одновременно

При $\overline{S} = \overline{R} = 0$ каждое уравнение получает свой ноль независимо от второго выхода: $Q = \overline{0 \cdot \overline{Q}} = 1$ и $\overline{Q} = \overline{0 \cdot Q} = 1$ для любых $Q$, $\overline{Q}$. Получается $Q = \overline{Q} = 1$ - формально оба уравнения выполняются, но нарушается требование, что прямой и инверсный выходы триггера должны быть противоположны. Это и называют запрещённой комбинацией: она устойчива, пока держатся оба нуля, но при их одновременном снятии подстановка перестаёт быть однозначной - какой из двух вентилей "успеет" среагировать первым, зависит от микроскопической разницы задержек, и итоговое состояние непредсказуемо. Поэтому в реальных схемах эту комбинацию исключают ещё на этапе формирования сигналов, а там, где нужна гарантированная защита от неё, используют производные схемы вроде D-триггера с одним информационным входом.

Частые ошибки

• Подставлять текущий $\overline{Q}$ вместо предыдущего в режиме хранения. Уравнение $Q = \overline{\overline{S}\cdot\overline{Q}}$ при $\overline{S}=1$ проверяет самосогласованность с ПРОШЛЫМ значением $\overline{Q}$, а не вычисляет новое с нуля - без истории эту строку решить нельзя.
• Забывать, что ноль на входе обнуляет результат безусловно. В режимах установки и сброса второй множитель можно вообще не знать заранее - таблица истинности И-НЕ уже даёт единицу при любом нуле.
• Путать, какой вентиль выдаёт $Q$, а какой $\overline{Q}$. Если перепутать местами верхний и нижний элемент при подстановке, установка и сброс поменяются ролями.
• Считать запрещённое состояние обычным решением системы. Да, оно формально удовлетворяет обоим уравнениям, но нарушает физический смысл триггера ($Q \ne \overline{Q}$), поэтому его и называют запрещённым, а не просто ещё одной строкой таблицы.
• Менять $\overline{S}$ и $\overline{R}$ одновременно при анализе перехода. Одновременное снятие обоих нулей запрещённой комбинации даёт неоднозначную подстановку - на практике и в задачах входы меняют по очереди.

FAQ

Как из формулы элемента И-НЕ получить формулу RS-триггера? Берут два уравнения $Y = \overline{A \cdot B}$ - по одному на каждый вентиль - и подставляют в них крест-накрест выходы друг друга: $Q = \overline{\overline{S}\cdot\overline{Q}}$, $\overline{Q} = \overline{\overline{R}\cdot Q}$. Решение этой системы при конкретных $\overline{S}$, $\overline{R}$ и известной истории и есть поведение триггера.

Почему подстановка ноля в уравнение И-НЕ сразу даёт единицу? По определению элемента: $Y = \overline{A\cdot B}$ равно единице всегда, когда произведение $A\cdot B$ равно нулю, а произведение с любым нулевым множителем равно нулю. Поэтому ноль на входе $\overline{S}$ или $\overline{R}$ гарантированно продавливает единицу на соответствующем выходе, независимо от второго входа.

Можно ли решить уравнения RS-триггера без знания предыдущего состояния? Для установки и сброса - да, оба выхода определяются однозначно текущими входами. Для режима хранения - нет: оба уравнения содержат единицы на управляющих входах и зависят только от предыдущих $Q$, $\overline{Q}$, поэтому без истории строка хранения неопределима.

Коротко

RS-триггер на элементах И-НЕ полностью описывается системой $Q = \overline{\overline{S}\cdot\overline{Q}}$, $\overline{Q} = \overline{\overline{R}\cdot Q}$. Ноль на любом управляющем входе обнуляет соответствующее произведение и безусловно даёт единицу на выходе - так рождаются установка и сброс. Когда оба входа равны единице, уравнения перестают задавать новое значение и лишь подтверждают предыдущее - это и есть хранение бита. А одновременные нули на обоих входах формально решают систему, но нарушают требование $Q \ne \overline{Q}$ и потому считаются запрещённым состоянием. Весь набор поведения триггера - не список правил для заучивания, а прямое следствие одной формулы элемента И-НЕ, применённой дважды.