Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента

Вольт-амперная характеристика (ВАХ) показывает, как ток через элемент зависит от приложенного напряжения. У линейного резистора эта зависимость прямая: ток растёт пропорционально напряжению, наклон один и тот же во всех точках, а отношение $U/I$ постоянно и равно сопротивлению. У нелинейного элемента (диода, лампы накаливания, варистора, транзистора) график искривлён: одно и то же приращение напряжения даёт разный прирост тока в разных точках, поэтому привычная формула $R = U/I$ перестаёт описывать элемент одним числом. Ниже разберём, как строится ВАХ нелинейного элемента на примере диода, как читать её по уравнению Шокли, чем статическое сопротивление отличается от дифференциального и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь напряжения, тока и наклона кривой, покрути калькулятор ниже: он строит ВАХ, ставит рабочую точку и рисует касательную, наклон которой и есть дифференциальное сопротивление.

Что такое ВАХ и чем нелинейный элемент отличается от линейного

ВАХ элемента - это график зависимости тока $I$ от напряжения $U$ на его выводах. Для линейного элемента справедлив закон Ома $I = U/R$, и на графике это прямая, проходящая через начало координат. Её наклон постоянен, а значит, сопротивление не зависит от того, какое напряжение приложено: 1 В даёт столько же добавочного тока, сколько и десятый вольт.

Рассчитать для своей задачи

Нелинейный элемент устроен иначе: его ВАХ - кривая, и наклон в каждой точке свой. До некоторого порогового напряжения ток почти не идёт, а после порога нарастает резко, по экспоненте. Именно поэтому для нелинейного элемента нельзя указать одно сопротивление: придётся различать два разных сопротивления, о которых речь ниже. Главный признак нелинейности на графике прост: если соединить любую точку кривой с началом координат, секущая и касательная в этой точке не совпадают.

Уравнение Шокли: ВАХ полупроводникового диода

Канонический нелинейный элемент - полупроводниковый диод. Его прямая ветвь ВАХ описывается уравнением Шокли:

$I = I_s\left(e^{\,U/(nV_T)} - 1\right),$

где $I_s$ - обратный ток насыщения (порядка наноампер для кремния), $n$ - коэффициент идеальности (от 1 до 2), а $V_T = kT/q$ - тепловой потенциал. При комнатной температуре $T = 300$ К он равен примерно $V_T \approx 25{,}85$ мВ. Экспонента в формуле и есть источник нелинейности: пока $U$ мало, ток ничтожен, но как только напряжение приближается к $0{,}6$–$0{,}7$ В, показатель экспоненты становится большим и ток взлетает.

Рассчитать для своей задачи

Полезное практическое правило: при $n = 1$ ток диода растёт в десять раз на каждые примерно $60$ мВ прироста напряжения, при $n = 1{,}5$ - на каждые $89$ мВ, при $n = 2$ - на каждые $119$ мВ. Поэтому коэффициент идеальности определяет, насколько круто поднимается ВАХ. Подвигай ползунок $n$ в калькуляторе выше: при большем $n$ колено характеристики становится положе.

Статическое и дифференциальное сопротивление

Поскольку ВАХ нелинейна, у элемента есть сразу два сопротивления, и путать их нельзя.

Статическое сопротивление в рабочей точке - это обычное отношение напряжения к току:

$R_{ст} = \frac{U}{I}.$

Геометрически это наклон секущей, проведённой из начала координат в рабочую точку. Оно отвечает на вопрос: какой постоянный резистор пропустил бы тот же ток при том же напряжении.

Дифференциальное (динамическое) сопротивление - это производная напряжения по току в рабочей точке:

$r = \frac{dU}{dI}.$

Геометрически это наклон касательной к ВАХ в данной точке. Оно отвечает на вопрос: как изменится ток при малом приращении напряжения вокруг рабочей точки. Для диода дифференциальное сопротивление выводится прямым дифференцированием уравнения Шокли:

$r = \frac{dU}{dI} = \frac{nV_T}{I + I_s} \approx \frac{nV_T}{I}.$

То есть чем больше ток через диод, тем меньше его дифференциальное сопротивление: на крутом участке ВАХ касательная почти вертикальна. Для малосигнального анализа схем (усилители, выпрямители) важно именно $r$, а не $R_{ст}$.

Рассчитать для своей задачи

Пример расчёта по рабочей точке

Возьмём те же значения, что стоят в калькуляторе по умолчанию: кремниевый диод с обратным током насыщения $I_s = 1$ нА и коэффициентом идеальности $n = 1{,}5$, рабочее напряжение $U = 0{,}65$ В, тепловой потенциал $V_T = 25{,}85$ мВ.

Сначала находим ток в рабочей точке по уравнению Шокли:

$I = I_s\left(e^{\,U/(nV_T)} - 1\right) = 10^{-9}\left(e^{\,0{,}65/(1{,}5\cdot 0{,}02585)} - 1\right) \approx 0{,}0191\ \text{А} = 19\ \text{мА}.$

Теперь статическое сопротивление - простое отношение:

$R_{ст} = \frac{U}{I} = \frac{0{,}65}{0{,}0191} \approx 34\ \text{Ом}.$

И дифференциальное сопротивление по формуле производной:

$r = \frac{nV_T}{I + I_s} \approx \frac{1{,}5 \cdot 0{,}02585}{0{,}0191} \approx 2{,}0\ \text{Ом}.$

Разница больше чем в пятнадцать раз: статическое сопротивление около 34 Ом, а дифференциальное всего около 2 Ом. Именно поэтому, говоря «сопротивление диода», всегда уточняют, какое из двух имеется в виду. Если задать те же числа ползунками в калькуляторе, обе величины он покажет в плитках результата, а касательная на графике наглядно подтвердит, что наклон у неё гораздо круче, чем у секущей.

Графический метод: нагрузочная прямая

Когда нелинейный элемент включён последовательно с резистором и источником, ток нельзя найти подстановкой в одну формулу - уравнение трансцендентное. Здесь работает графический метод нагрузочной прямой. На том же поле, где построена ВАХ диода, проводят прямую закона Кирхгофа для внешней цепи:

$U_{ист} = U + I R \quad\Rightarrow\quad I = \frac{U_{ист} - U}{R}.$

Это прямая, пересекающая ось напряжения в точке $U_{ист}$ и ось тока в точке $U_{ист}/R$. Точка пересечения нагрузочной прямой с ВАХ нелинейного элемента и есть рабочая точка: одновременно выполняются и закон элемента, и закон внешней цепи. Метод удобен тем, что не требует решать экспоненциальное уравнение и сразу показывает, как сместится рабочая точка при изменении напряжения источника или сопротивления нагрузки.

Частые ошибки

• Применение закона Ома $R = U/I$ как единственного сопротивления. Для нелинейного элемента это лишь статическое сопротивление в одной точке, оно меняется вдоль кривой и не годится для малосигнального анализа.
• Путаница статического и дифференциального сопротивления. $R_{ст} = U/I$ это наклон секущей, $r = dU/dI$ это наклон касательной. В рабочей точке диода они различаются в разы.
• Температура в формуле Шокли. Тепловой потенциал $V_T = kT/q$ зависит от температуры. При 300 К это около 25,85 мВ, при другой температуре число другое, и ВАХ сдвигается.
• Попытка решить цепь с диодом алгебраически. Уравнение $U_{ист} = U + I R$ с экспонентой не решается в элементарных функциях, используйте нагрузочную прямую или численный метод.
• Игнорирование коэффициента идеальности. При $n = 2$ колено ВАХ заметно положе, чем при $n = 1$, и дифференциальное сопротивление при том же токе вдвое больше.

FAQ

Чем ВАХ нелинейного элемента отличается от ВАХ резистора? У резистора ВАХ это прямая через начало координат, наклон постоянен и $U/I = R =$ const. У нелинейного элемента ВАХ это кривая: наклон меняется от точки к точке, поэтому одного числа-сопротивления нет, нужно различать статическое и дифференциальное сопротивление.

Как найти дифференциальное сопротивление по графику ВАХ? Проведите касательную к кривой в рабочей точке и найдите её наклон: $r = \Delta U / \Delta I$ для малого участка вокруг точки. Для диода это можно посчитать и аналитически по формуле $r = nV_T/(I + I_s)$, что удобно для проверки.

Что такое рабочая точка нелинейного элемента? Это конкретная пара значений напряжения и тока, в которой работает элемент в данной схеме. Её находят на пересечении ВАХ элемента и нагрузочной прямой внешней цепи. Все локальные параметры, в том числе дифференциальное сопротивление, считают именно в рабочей точке.

Коротко

Вольт-амперная характеристика нелинейного элемента это кривая, а не прямая: наклон в каждой точке свой, поэтому одного сопротивления у элемента нет. Для диода ВАХ задаётся уравнением Шокли $I = I_s(e^{U/(nV_T)} - 1)$, а в рабочей точке различают статическое сопротивление $R_{ст} = U/I$ (наклон секущей) и дифференциальное $r = dU/dI = nV_T/(I + I_s)$ (наклон касательной); они могут различаться в разы. Ток в цепи с нелинейным элементом находят графически по нагрузочной прямой, на пересечении с ВАХ.